Question

7．組成星球的物質是靠引力吸引在一起的，這樣的星球有一個最大的自轉角速度，如果超過了最大自轉角速度，星球的萬有引力將不足以維持其赤道附近的物體的圓周運動，由此能得到半徑為R、密度為ρ、質量為M且均勻分布的星球的最小自轉周期T．下列表達式中正確的是（　�。�

• A． T=2π$\sqrt{\frac{{R}^{3}}{Gρ}}$
• B． T=2π$\sqrt{\frac{{3{R^3}}}{GM}}$
• C． T=$\sqrt{\frac{π}{Gρ}}$
• D． T=$\sqrt{\frac{3π}{Gρ}}$

Answer 1

分析 由題意可知當周期達到某一最小值時，物體對星球表面應剛好沒有壓力，即萬有引力恰好充當星球表面的物體在星球表面做圓周運動的向心力；故由萬有引力公式可求得最小周期．

解答 解：由F=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$R可得周期越小，物體需要的向心力越大，物體對星球表面的壓力最小，當周期小到一定值時，壓力為零，此時萬有引力充當向心力，即：
$\frac{GMm}{{R}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}R$
解得：T=2π$\sqrt{\frac{{R}^{3}}{GM}}$，因M=ρ$\frac{4}{3}π{R}^{3}$，代入上式可得：T=$\sqrt{\frac{3π}{Gρ}}$．
故選：D．

點評 星球表面的物體受到星球萬有引力的作用充當物體的向心力及支持力，星球的轉動角速度越大、周期越小時，則需要的向心力越大，則物體所受支持力越��；而當向心力大到一定值時，物體會離開星球表面．