Question

11．如圖所示，一根不可伸長的輕細(xì)繩穿過小環(huán)D下端的光滑小孔，繞過輕質(zhì)光滑定滑輪O，一端與放在光滑絕緣斜面上的絕緣棒A連接，絕緣棒的中點帶有點電荷，另一端與穿在光滑豎直細(xì)桿上的小球B連接，整個裝置在同一豎直平面內(nèi)．當(dāng)系統(tǒng)靜止時，輕細(xì)繩與豎直細(xì)桿的夾角為θ=30°，D與豎直細(xì)桿間的距離為d．已知斜面傾角α=60°，棒A的長度為L=（2-$\sqrt{2}$）d，質(zhì)量為m，點電荷電量為+q，重力加速度為g，細(xì)桿、斜面足夠長．試求：
（1）小球B的質(zhì)量；
（2）若在絕緣棒A靜止時下端位置MN、上端位置PQ（MN、PQ與斜面垂直）之間的區(qū)域內(nèi)加一沿斜面向下的勻強(qiáng)電場（圖中未畫出），小球B運動的最高點可達(dá)與D同高的C點，求場強(qiáng)的大��；
（3）若所加電場的場強(qiáng)大小E=$\frac{{\sqrt{6}mg}}{2q}$，求絕緣棒A第一次全部離開電場時，小球的速度．

Answer 1

分析 分別對兩物體受力分析，根據(jù)平衡條件列方程求解；
由速度的合成與分解得到兩個物塊速度的關(guān)系，對系統(tǒng)由機(jī)械能守恒定律列方程求解．

解答 解：（1）兩物體受力如圖，由平衡條件得：

對A：T=mgsinα 
對B：Tcosθ=m_Bg
聯(lián)立以上各式并代入數(shù)據(jù)解得：${m_B}=\frac{3}{4}m$；

（2）由能量守恒得：$\frac{qEL}{2}+mg（\fracjx3a888{sinθ}-d）sinα={m_B}gdcotθ$，
聯(lián)立以上各式并代入數(shù)據(jù)解得：$E=\frac{{\sqrt{3}mg}}{{2（2-\sqrt{2}）q}}=\frac{{（2\sqrt{3}+\sqrt{6}）mg}}{4q}$；

（3）絕緣棒A第一次全部離開電場時，小球B運動到E點，DE與桿的夾角為β，由能量守恒得：
$\frac{{q{E_1}L}}{2}+mgLsinα-{m_B}g（dcotθ-\overline{DE}cosβ）=\frac{1}{2}mv_A^2+\frac{1}{2}{m_B}v_B^2$，
由運動分解可得：v_A=v_Bcosβ，
由幾何知識可得：$\overline{DE}=\fracoc15g5m{sinθ}-L$；$sinβ=\fracntz8cii{{\overline{DE}}}$，
聯(lián)立以上各式并代入數(shù)據(jù)解得：${v_B}=\sqrt{\frac{{2（3-\sqrt{3}）gd}}{5}}$．

答：（1）小球B的質(zhì)量為$\frac{3}{4}$m；
（2）若在絕緣棒A靜止時下端位置MN、上端位置PQ（MN、PQ與斜面垂直）之間的區(qū)域內(nèi)加一沿斜面向下的勻強(qiáng)電場（圖中未畫出），小球B運動的最高點可達(dá)與D同高的C點，場強(qiáng)的大小為$\frac{（2\sqrt{3}+\sqrt{6}）mg}{4q}$；
（3）若所加電場的場強(qiáng)大小E=$\frac{{\sqrt{6}mg}}{2q}$，絕緣棒A第一次全部離開電場時，小球的速度為$\sqrt{\frac{2（3-\sqrt{3}）gd}{5}}$．

點評 解決“繩（桿）端速度分解模型”問題時應(yīng)把握以下兩點：
（1）確定合速度，它應(yīng)是m₂的實際速度；
（2）m₂運動引起了兩個效果：一是左邊繩子的縮短，二是繩繞滑輪的轉(zhuǎn)動．應(yīng)根據(jù)實際效果進(jìn)行運動的分解．