Question

10．如圖所示，圓形區(qū)域中，圓心角為30°的扇面MON之外分布著垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，一質(zhì)量為m、帶電量為-q的粒子，自圓心O點(diǎn)垂直于OM以速度v射入磁場(chǎng)，粒子能兩次經(jīng)過(guò)邊界OM，不計(jì)粒子重力
（1）求粒子從射入到第一次穿過(guò)邊界ON，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間
（2）求圓形區(qū)域的最小半徑
（3）若圓形區(qū)域無(wú)限大，現(xiàn)保持其它條件不變而將∠MON變?yōu)閘0°，粒子射出后穿越磁場(chǎng)邊界的次數(shù)．

Answer 1

分析 由題意畫(huà)出運(yùn)動(dòng)軌跡圖，并由幾何關(guān)系來(lái)確定兩段圓弧的圓心角及各線段長(zhǎng)；由周期公式來(lái)計(jì)算各段時(shí)間；由切點(diǎn)處作出兩圓半徑關(guān)系，并求解；尋找每次旋轉(zhuǎn)后角度變化規(guī)律來(lái)求總次數(shù)

解答 解：（1）粒子第一次穿過(guò)ON邊界，入射速度與ON夾角為60°，如圖知偏轉(zhuǎn)角θ=120°
所以在磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間：t=$\frac{120°}{360°}$T=$\frac{1}{3}\frac{2πm}{qB}$=$\frac{2πm}{3qB}$
（2）根據(jù)洛倫茲力充當(dāng)向心力qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$知
半徑R=$\frac{mv}{qB}$
要保證粒子兩次過(guò)OM，磁場(chǎng)最小區(qū)域應(yīng)與圓周運(yùn)動(dòng)在E點(diǎn)相切
在△O₁AB中O₁B=2R
在△O₂BD中BD=$\frac{R}{2}$
在△ODO₂中，OD=OB-OD=$\frac{5}{2}R$
O₂D=$\frac{\sqrt{3}}{2}$R
得OO₂=$\sqrt{7}$R
最小半徑r=$\frac{（1+\sqrt{7}）mv}{qB}$
（3）∠MON變?yōu)?0°，首次從ON邊界向下穿出時(shí)與之夾角為80°
首次穿出OM時(shí)與之夾角為70°
每次從邊界向扇形區(qū)穿出，均比上次夾角減小10°
直到向上穿出時(shí)，與OM夾角為10°，不再進(jìn)入磁場(chǎng)
故穿過(guò)邊界的次數(shù)為15次
答：（1）粒子從射入到第一次穿過(guò)邊界ON，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為$\frac{2πm}{3qB}$；
（2）圓形區(qū)域的最小半徑為$\frac{（1+\sqrt{7}）mv}{qB}$；
（3）若圓形區(qū)域無(wú)限大，現(xiàn)保持其它條件不變而將∠MON變?yōu)閘0°，粒子射出后穿越磁場(chǎng)邊界的次數(shù)為15次．

點(diǎn)評(píng) 本題考查帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，難度較大，過(guò)程復(fù)雜，關(guān)鍵在于用運(yùn)動(dòng)軌跡圖來(lái)尋找?guī)缀侮P(guān)系，確定長(zhǎng)度及角度，將復(fù)雜運(yùn)動(dòng)形成規(guī)律進(jìn)行簡(jiǎn)化解決