Question

（15分）一半徑為的水平光滑圓桌面，圓心為，有一豎直的立柱固定在桌面上的圓心附近，立柱與桌面的交線是一條凸的平滑的封閉曲線，如圖所示。一根不可伸長的柔軟的細輕繩，一端固定在封閉曲線上的某一點，另一端系一質量的小物塊。將小物塊放在桌面上并把繩拉直，再給小物塊一個方向與繩垂直、大小為的初速度。物塊在桌面上運動時，繩將纏繞在立柱上。已知當繩的張力為時，繩即斷開，在繩斷開前物塊始終在桌面上運動．

1．問繩剛要斷開時，繩的伸直部分的長度為多少?

2．若繩剛要斷開時，桌面圓心到繩的伸直部分與封閉曲線的接觸點的連線正好與繩的伸直部分垂直，問物塊的落地點到桌面圓心的水平距離為多少？已知桌面高度．物塊在桌面上運動時未與立柱相碰．取重力加速度大小為。

Answer 1

解析：

1．因桌面是光滑的，輕繩是不可伸長的和柔軟的，且在斷開前繩都是被拉緊的，故在繩斷開前，物塊在沿桌面運動的過程中，其速度始終與繩垂直，繩的張力對物塊不做功，物塊速度的大小保持不變。設在繩剛要斷開時繩的伸直部分的長度為，若此時物塊速度的大小為，則有

                                          （1）

繩對物塊的拉力僅改變物塊速度的方向，是作用于物塊的向心力，故有

                                   （2）

由此得

                                           （3）

代入數(shù)據(jù)得                                 （4）

2. 設在繩剛要斷開時，物塊位于桌面上的點，是繩的伸直部分，物塊速度的方向如圖所示．由題意可知，．因物塊離開桌面時的速度仍為，物塊離開桌面后便做初速度為的平拋運動，設平拋運動經(jīng)歷的時間為，則有

                      （5）

物塊做平拋運動的水平射程為

                        （6）

由幾何關系，物塊落地地點與桌面圓心的水平距離為

                                （7）

解（5）、（6）、（7）式，得

                            (8)

代入數(shù)據(jù)得