Question

一個圓柱形的豎直的井里存有一定量的水，井的側(cè)面和底部是密閉和.在井中固定地插著一根兩端開口的薄壁圓管，管和井共軸，管下端未觸及井底，在圓管內(nèi)有一不漏氣的活塞，它可沿圓管上下滑動.開始時，管內(nèi)外水面相齊，且活塞恰好接觸水面，如圖所示，現(xiàn)有卷場機(jī)通過繩子對活塞施加一個向上的力F，使活塞緩慢向上移動.已知管筒半徑r=0.100m，井的半徑R=2r，水的密度=1.00×10³kg/m³，大氣壓p₀=1.00×10⁵Pa.求活寒上升H=9.00m的過程中拉力F所做的功.（井和管在水面以上及水面以下的部分都足夠長.不計活塞質(zhì)量，不計摩擦，重力加速度g=10m/s².）

Answer 1

從開始提升到活塞升至內(nèi)外水面高度差為的過程中，活塞始終與管內(nèi)液體接觸，（再提升活塞時，活塞和水面之間將出現(xiàn)真空，另行討論）設(shè)活塞上升距離為h_1，管外液面下降距離為h₂，

    h₀=h₁+h₂……①

    因液體體積不變，有 ……②

    得  ……③

    題給H=9m>h₁，由此可知確實有活塞下面是真空的一段過程.

    活塞移動距離從零到h₁的過程中，對于水和活塞這個整體，其機(jī)械能的增量應(yīng)等于除重力外其他力所做的功，因為始終無動能，所以機(jī)械能的增量也就等于重力勢能增量，即  ……④

    其他力有管內(nèi)、外的大氣壓力的拉力F，因為液體不可壓縮，所以管內(nèi)、外大氣壓力做的總功，故外力做功就只是拉力F做的功，由功能關(guān)系知

    ……⑤  即 ……⑥

    活塞移動距離從h₁到H的過程中，液面不變，F(xiàn)是恒力，做功

    ……⑦

所求拉力F做的總功為⑧