Question

15．水平地面上方空間存在著范圍足夠大的水平勻強(qiáng)電場(chǎng)，一個(gè)光滑絕緣的部分圓周軌道豎直固定在某位置，如圖所示，圓周平面與電場(chǎng)方向平行，AB為直徑，與豎直方向的夾角θ=45°，圓周軌道內(nèi)有一個(gè)質(zhì)量為m帶電量為+q的小球在A點(diǎn)處于靜止?fàn)顟B(tài)．若給小球一個(gè)初速度，使小球在豎直平面內(nèi)做逆時(shí)針圓周運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)離開(kāi)圓周軌道，飛行一段時(shí)間后垂直打在地面上．已知圓周軌道半徑為R．圓心O到地面的距離為$\sqrt{2}$R．
（1）求電場(chǎng)強(qiáng)度的大小和方向．
（2）求小球脫離軌道B點(diǎn)后直至落地所用的時(shí)間．
（3）小球出發(fā)時(shí)在A點(diǎn)對(duì)軌道造成的壓力是多大．

Answer 1

分析 （1）對(duì)小球進(jìn)行受力分析，結(jié)合在A點(diǎn)的受力平衡即可求出電場(chǎng)力的大小與方向，結(jié)合電場(chǎng)力的方向判斷出電場(chǎng)的方向；
（2）將小球離開(kāi)B點(diǎn)后的速度與運(yùn)動(dòng)分解，結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)的公式即可求出時(shí)間；
（3）根據(jù)A到B的過(guò)程中重力與電場(chǎng)力做功，由動(dòng)能定理求出小球在A點(diǎn)的速度，結(jié)合牛頓第二定律和向心力的公式即可求出．

解答 解：（1）如圖，對(duì)小球進(jìn)行受力分析可知，小球所受電場(chǎng)力方向水平向右，因?yàn)樾∏驇д�，所以電�?chǎng)的方向水平向右
電場(chǎng)強(qiáng)度的大�。篍=$\frac{mgtan45°}{q}$=$\frac{mg}{q}$…①

（2）設(shè)小球脫離軌道B點(diǎn)后直至落地所用的時(shí)間t，小球脫離B點(diǎn)時(shí)的速度為V_B，水平方向加速度大小為：a=$\frac{qE}{m}=\frac{mg}{m}=g$…②

如圖所示，水平向左做勻減速運(yùn)動(dòng)，接觸地面時(shí)水平速度為0，所以：
v_Bcosθ=gt…③
豎直方向做勻加速運(yùn)動(dòng)：$\sqrt{2}R+\frac{\sqrt{2}}{2}R={v}_{B}cosθ•t+\frac{1}{2}g{t}^{2}$…④
由③④聯(lián)立解得：$t=\sqrt{\frac{\sqrt{2}R}{g}}$…⑤
（3）設(shè)小球在A點(diǎn)的速度大小為v_A，電場(chǎng)力與重力合力的大小為：${F}_{合}=\sqrt{2}mg$
小球從A運(yùn)動(dòng)到B的過(guò)程中，軌道彈力不做功，對(duì)小球從A出發(fā)到B脫離軌道的過(guò)程應(yīng)用動(dòng)能定理：
$-{F}_{合}•2R=\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$…⑥
設(shè)小球在位置A時(shí)受到軌道支持力大小為F_N，在A點(diǎn)對(duì)小球應(yīng)用牛頓第二定律：${F}_{N}-\sqrt{2}mg=\frac{m{v}_{A}^{2}}{R}$…⑦
由牛頓第三定律，小球?qū)︓壍赖膲毫Υ笮〉扔谲壍缹?duì)小球的支持力，聯(lián)系（1）、（2）及⑥⑦式關(guān)系得：
${F}_{N}′={F}_{N}=7\sqrt{2}mg$
答：（1）電場(chǎng)強(qiáng)度的大小是$\frac{mg}{q}$，方向水平向右．
（2）小球脫離軌道B點(diǎn)后直至落地所用的時(shí)間是$\sqrt{\frac{\sqrt{2}R}{g}}$．
（3）小球出發(fā)時(shí)在A點(diǎn)對(duì)軌道造成的壓力是$7\sqrt{2}mg$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查帶電粒子在電場(chǎng)和重力場(chǎng)復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，靈活運(yùn)用動(dòng)能定理和牛頓第二定律相結(jié)合研究，可用類比的方法理解：A點(diǎn)相當(dāng)于重力場(chǎng)中豎直平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的最低點(diǎn)．