Question

13．如圖所示，光滑水平面的左側(cè)固定一擋板，擋板上固定一水平輕彈簧，彈簧處于自然長度，右端放小物塊1（不與彈簧連結(jié)），依次共有n個質(zhì)量均為m的小物塊（視為質(zhì)點(diǎn)）靜止沿一直線排開，相鄰小物塊間距離均為d．現(xiàn)用力對物塊l做功W將彈簧壓縮，撤掉力后物塊1向物塊2運(yùn)動，碰撞后粘在一起，又向物塊3運(yùn)動，粘在一起后又向物塊4運(yùn)動，如此進(jìn)行下去．求：

（1）小物塊1離開彈簧時速度V₀；
（2）前面物塊與第n個小物塊粘在一起時的速度大小V_n；
（3）從物塊l離開彈簧，到物塊n開始運(yùn)動經(jīng)歷的總時間．（忽略每次碰撞所用的時間）

Answer 1

分析 （1）小物塊1離開彈簧時，彈簧的彈性勢能全部轉(zhuǎn)化為小球的動能，據(jù)此求出小球的速度；
（2）對n個物塊組成的系統(tǒng)，滿足動量守恒的條件，根據(jù)動量守恒定律列式即可求解；
（3）物體離開彈簧后做勻速直線運(yùn)動，求出運(yùn)動到2的時間，根據(jù)動量守恒定律求出碰撞后的共同速度，碰撞后仍做勻速直線運(yùn)動，求出運(yùn)動到3的時間，據(jù)此方法一直求出最后（n-1）個物塊向第n 個物塊運(yùn)動需時間，從而求出總時間即可．

解答 解：（1）根據(jù)$W=\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$得：${v}_{0}=\sqrt{\frac{2W}{m}}$
（2）對n個物塊組成的系統(tǒng)，滿足動量守恒的條件，得：mV₀=nmVn
物塊n 的速度為：${v}_{n}=\frac{1}{n}\sqrt{\frac{2W}{m}}$
（3）從物塊l開始運(yùn)動到和物塊2相撞，需時間t_l，則有：t_l=$\fracodta1ny{{v}_{0}}$
設(shè)物塊1和2碰撞后具有共同速度v_l，則有：mv₀=（m+m）v₁  
解得：v₁=$\frac{{v}_{0}}{2}$
物塊l、2以速度V_l向物塊3運(yùn)動，需時間t₂則有：t₂=$\frac{2d}{{v}_{0}}$
物塊l、2與3碰后，共同速度v₂，則有：v₂=$\frac{{v}_{0}}{3}$
物塊l、2、3以速度v₂向物塊4運(yùn)動，需時間有：t₃=$\frac{3d}{{v}_{0}}$  
以此類推，最后（n-1）個物塊向第n 個物塊運(yùn)動需時間t_n-1，則有：t_n-1=$\frac{（n-1）d}{{v}_{0}}$
從物塊1開始運(yùn)動到物塊n開始運(yùn)動，共需時間：
t=t₁+t₂+…+t_n=$\fracolhl6gc{{v}_{0}}+\frac{2d}{{v}_{0}}+$…+$\frac{（n-1）d}{{v}_{0}}$=$\frac{n（n-1）d}{{2v}_{0}}$=$\frac{n（n-1）d}{2}\sqrt{\frac{m}{2W}}$
答：（1）小物塊1離開彈簧時速度為$\sqrt{\frac{2W}{m}}$；
（2）前面物塊與第n個小物塊粘在一起時的速度大小為$\frac{1}{n}\sqrt{\frac{2W}{m}}$；
（3）從物塊l離開彈簧，到物塊n開始運(yùn)動經(jīng)歷的總時間為$\frac{n（n-1）d}{2}\sqrt{\frac{m}{2W}}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了動量守恒定律及運(yùn)動學(xué)基本公式的直接應(yīng)用，知道物塊碰撞過程中，系統(tǒng)動量守恒，知道小物塊1離開彈簧時，彈簧的彈性勢能全部轉(zhuǎn)化為小球的動能，難度適中．