Question

3．如圖所示，在豎直平面內(nèi)半徑為R的四分之一圓弧軌道AB、水平軌道BC與斜面CD平滑連接在一起，斜面足夠長．在圓弧軌道上靜止著N個(gè)半徑為r（r＜＜R）的光滑剛性小球，小球恰好將圓弧軌道鋪滿，從最高點(diǎn)A到最低點(diǎn)B依次標(biāo)記為1、2、3…N．現(xiàn)將圓弧軌道末端B處的阻擋物拿走，N個(gè)小球由靜止開始沿軌道運(yùn)動(dòng)，不計(jì)摩擦與空氣阻力，下列說法正確的是（　　）

• A． N個(gè)小球在運(yùn)動(dòng)過程中始終不會(huì)散開
• B． 第1個(gè)小球到達(dá)最低點(diǎn)的速度v=$\sqrt{gR}$
• C． 第N個(gè)小球在斜面上向上運(yùn)動(dòng)時(shí)機(jī)械能增大
• D． N個(gè)小球構(gòu)成的系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)過程中機(jī)械能守恒，且總機(jī)械能E=$\frac{1}{2}$NmgR

Answer 1

分析 N個(gè)小球在BC和CD上運(yùn)動(dòng)過程中，相鄰兩個(gè)小球始終相互擠壓，把N個(gè)小球看成整體，則小球運(yùn)動(dòng)過程中只有重力做功，機(jī)械能守恒，弧AB的長度等于小球全部到斜面上的長度，而在圓弧上的重心位置比在斜面上的重心位置低，所以第N個(gè)小球在斜面上能達(dá)到的最大高度比R小，小球整體的重心運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)的過程中，根據(jù)機(jī)械能守恒定律即可求解第一個(gè)小球到達(dá)最低點(diǎn)的速度．

解答 解：A、在下滑的過程中，水平面上的小球要做勻速運(yùn)動(dòng)，而曲面上的小球要做加速運(yùn)動(dòng)，則后面的小球?qū)η懊娴男∏蛞�向前壓力的作用，所以小球之間始終相互擠壓，沖上斜面后后面的小球把前面的小球往上壓，所以小球之間始終相互擠壓，故N個(gè)小球在運(yùn)動(dòng)過程中始終不會(huì)散開，故A正確；
B、D、把N個(gè)小球看成整體，若把弧AB的長度上的小球全部放在高度為R的斜面上，通過比較可知，放在斜面上的N個(gè)小球的整體的重心位置比較高．而放在斜面上時(shí)，整體的重心的高度為：$\frac{1}{2}$R，選擇B點(diǎn)為0勢(shì)能點(diǎn)，則整體的重力勢(shì)能小于$\frac{1}{2}$NmgR，小球整體的重心運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)的過程中，根據(jù)機(jī)械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$Nmv²＜Nmg•$\frac{R}{2}$；
解得：v＜$\sqrt{gR}$，即第1個(gè)小球到達(dá)最低點(diǎn)的速度v＜$\sqrt{gR}$，故B錯(cuò)誤，D錯(cuò)誤；
C、沖上斜面后，前面的小球在重力沿斜面向下的分力的作用下，要做減速運(yùn)動(dòng)，而后面的小球由于慣性想變成勻速運(yùn)動(dòng)，所以后面的小球把前面的小球往上推，后面的小球?qū)η懊娴男∏蜃稣�功，所以可得第N個(gè)小球在斜面上向上運(yùn)動(dòng)時(shí)機(jī)械能增大．故C正確．
故選：AC．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了機(jī)械能守恒定律的應(yīng)用，要求同學(xué)們能正確分析小球得受力情況，能把N個(gè)小球看成一個(gè)整體處理，難度適中．