Question

10．A、B兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)沿直線同時(shí)從甲處向乙處運(yùn)動(dòng)，A以v_A=3m/s的速度做勻速直線運(yùn)動(dòng)，B做初速度為零，加速度a_B=3m/s²的勻加速運(yùn)動(dòng)．當(dāng)B與A在途中相遇時(shí)，B即改做加速度a_B′=-2m/s²的勻減速直線運(yùn)動(dòng)，求：
（1）在B減至速度為零之前，A、B質(zhì)點(diǎn)在途中何時(shí)相距最遠(yuǎn)，最遠(yuǎn)距離為多少？
（2）A、B能否會(huì)第二次相遇？若能二次相遇，何時(shí)相遇？此時(shí)B的速度多大？

Answer 1

分析 （1）開(kāi)始過(guò)程，B追趕A，當(dāng)兩者速度相等時(shí)相距最遠(yuǎn)，當(dāng)兩者第一次相遇后，改為A追趕B，當(dāng)兩者速度相等時(shí)，再次相距最遠(yuǎn)，比較這兩次的數(shù)值即可求解；
（2）因?yàn)锽做減速運(yùn)動(dòng)，故A、B一定會(huì)再次相遇，設(shè)二次相遇的時(shí)間，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)基本公式結(jié)合位移關(guān)系求解．

解答 解：（1）由于B做初速度為零的勻加速運(yùn)動(dòng)，而A做勻速運(yùn)動(dòng)，在開(kāi)始一段時(shí)間內(nèi)，由于v_A＞v_B，所以A、B之間的間距一直在增大；當(dāng)v_A=v_B時(shí)，兩者相距最遠(yuǎn)；之后當(dāng)v_A＜v_B時(shí)，兩者間距逐漸減�。�
設(shè)第一次相距最遠(yuǎn)時(shí)，時(shí)間為t₁，當(dāng)v_A=v_B時(shí)，即a_Bt₁=v_A得：t₁=1s，
此時(shí)A、B間距離為$△x={v}_{A}{t}_{1}-\frac{1}{2}{a}_{B}{{t}_{1}}^{2}=3×1-\frac{1}{2}×3×1=1.5m$．
由相遇條件x_A=x_B，有${v}_{A}{t}_{2}=\frac{1}{2}{a}_{B}{{t}_{2}}^{2}$，得t₂=2s，此時(shí)B的速度v_B=a_Bt₂=3×2=6m/s
當(dāng)兩者第一次相遇后，改為A追趕B，當(dāng)兩者速度相等時(shí)，再次相距最遠(yuǎn)，設(shè)從相遇到速度再次相等用時(shí)t₃，則：${t}_{3}=\frac{{v}_{B}-{v}_{A}}{{a}_{B}′}=\frac{6-3}{2}$s=1.5s
此時(shí)兩者相距：s′=${v}_{B}{t}_{3}-\frac{1}{2}{a}_{B}′{{t}_{3}}^{2}$-v_At₃=6×1.5-0.5×2×1.5²-3×1.5m=2.25m
由于s′＞s
從出發(fā)所需時(shí)間：T=t₂+t₃=2=1.5=3.5s
比較A、B間的最遠(yuǎn)距離可知，第二次速度相等時(shí)兩者相距最遠(yuǎn)，即3.5s時(shí)A、B相距2.25m．
（2）因?yàn)锽做減速運(yùn)動(dòng)，故A、B一定會(huì)再次相遇．
設(shè)二次相遇時(shí)間為t₄，則相遇時(shí)x_A′=x_B′，即${v}_{B}（{t}_{4}-{t}_{2}）-\frac{1}{2}{a}_{B}′（{t}_{4}-{t}_{2}）^{2}={v}_{A}（{t}_{4}-{t}_{2}）$
解得t₄=5s．
而設(shè)B全程的停止時(shí)間為t₀，由勻減速運(yùn)動(dòng)的規(guī)律可知：0=v_B-a_B′（t₀-2），解得t₀=5s．
由t₄=t₀可知，第二次相遇時(shí)B的速度恰好為零，即v_B′=0．
答：（1）在B減至速度為零之前，A、B質(zhì)點(diǎn)在途中經(jīng)過(guò)3.5s時(shí)相距最遠(yuǎn)，最遠(yuǎn)距離為2.25m；
（2）A、B能第二次相遇，經(jīng)過(guò)5s相遇，此時(shí)B的速度為0．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵知道兩者速度相等時(shí)，兩者相距最遠(yuǎn)，兩者位移之差就是相距的位移，難度適中．