Question

19．假設(shè)某宇航員登上了火星，在其表面以初速度v豎直上拋一小球（小球僅受火星的引力作用），小球經(jīng)過時間t又返回到拋出點．已知火星的半徑為R，引力常量為G，則（　　）

• A． 火星的第一宇宙速度為$\sqrt{\frac{vR}{t}}$
• B． 火星的平均密度為$\frac{3v}{2πGRt}$
• C． 火星衛(wèi)星的最大角度為$\sqrt{\frac{2v}{Rt}}$
• D． 火星的“同步衛(wèi)星”運行周期為2π$\sqrt{\frac{Rt}{v}}$

Answer 1

分析 根據(jù)豎直上拋運動的對稱性，結(jié)合速度時間公式求出火星表面的重力加速度，根據(jù)重力提供向心力求出火星的第一宇宙速度，根據(jù)萬有引力等于重力求出火星的質(zhì)量，從而得出火星的平均密度．根據(jù)重力提供向心力求出火星衛(wèi)星的最大角速度．

解答 解：A、根據(jù)豎直上拋運動的對稱性知，小球上升到最高點的時間為$\frac{t}{2}$，則火星表面的重力加速度g=$\frac{v}{\frac{t}{2}}=\frac{2v}{t}$，根據(jù)mg=$m\frac{{v}^{2}}{R}$得，火星第一宇宙速度v=$\sqrt{gR}=\sqrt{\frac{2vR}{t}}$，故A錯誤．
B、根據(jù)mg=$G\frac{Mm}{{R}^{2}}$得，火星的質(zhì)量M=$\frac{g{R}^{2}}{G}=\frac{2v{R}^{2}}{Gt}$，則火星的平均密度$ρ=\frac{M}{V}$=$\frac{\frac{2v{R}^{2}}{Gt}}{\frac{4π{R}^{3}}{3}}$=$\frac{3v}{2πGRt}$，故B正確．
C、當(dāng)衛(wèi)星貼近火星表面做圓周運動，角速度最大，根據(jù)mg=mRω²得，$ω=\sqrt{\frac{g}{R}}=\sqrt{\frac{2v}{Rt}}$，故C正確．
D、根據(jù)題意，無法求出火星同步衛(wèi)星的運行周期，故D錯誤．
故選：BC．

點評 本題考查了萬有引力定律和運動學(xué)公式的綜合運用，掌握萬有引力等于重力和萬有引力提供向心力這兩個重要理論，并能靈活運用，通過速度時間公式求出火星表面的重力加速度是解決本題的關(guān)鍵．