Question

圖所示為修建高層建筑常用的塔式超重機．在起重機將質量為m的重物豎直吊起的過程中，重物由靜止開始向上做勻加速直線運動，加速度為a，當起重機輸出功率達到其允許的最大值時，保持該功率直到重物做速度為v_m的勻速運動．不計額外功．
（1）求起重機允許輸出的最大功率；
（2）求重物做勻加速運動所經歷的時間；
（3）若已知起重機達到輸出功率的最大值，又經△t時間，重物達到v_m
求物體由靜止到以v_m做勻速運動過程中，升高的高度．

Answer 1

分析：本題（1）的關鍵是明確通過求出重物勻速運動時牽引力的功率來求最大功率．（2）題的關鍵是明確重物勻加速運動結束時達到最大功率，然后根據功率與牽引力關系、牛頓第二定律以及速度時間關系聯立即可求解．（3）題的關鍵是先根據運動學公式中的位移時間關系求出重物勻加速上升的位移，然后對全過程應有動能定理即可求解．

解答：解：（1）設起重機允許輸出的最大功率為

P

0

，重物達到最大速度時應有：
f=mg…①

P

0

=f

v

m

…②
聯立①②解得

P

0

=mg

v

m

…③
（2）勻加速運動結束時，起重機達到允許輸出的最大功率，設此時重物受到的拉力為F，速度為

v

1

，勻加速運動經歷的時間為

t

1

，有：

P

0

=

Fv

1

…④
F-mg=ma…⑤

v

1

=a

t

1

…⑥
由③④⑤⑥解得

t

1

=

gv   m

a(g+a)

（3）設物體勻加速上升的高度為

h

1

，則有：

h

1

=

1

2

at

2 1

…⑧
由動能定理得：
F

h

1

+

P

0

△t-mgh=

1

2

mv

2 m

…⑨
由③⑤⑧⑨可得：h=

gv 2 m

2a(g+a)

+v

m

△t-

v 2 m

2g

答：（1）起重機允許的最大功率為mg

v

m

．
    （2）重物做勻加速運動經歷的時間為

gv   m

a(g+a)

．
    （3）物體由靜止到以

v

m

做勻速運動過程中，升高的高度為

gv 2 m

2a(g+a)

+v

m

△t-

v 2 m

2g

點評：遇到“動力機械的起動”問題要明確一下幾點：1．動力機械的功率指的是牽引力的功率即P=Fv；2．勻加速起動還是恒定功率起動，若是勻加速起動，由p=Fv可知實際功率逐漸增大，當勻加速運動結束時功率達到最大；3．靈活選取牛頓第二定律、運動學公式以及動能定理．