Question

19．如圖所示，裝置可繞豎直軸O′O轉動，可視為質點的小球A與兩細線連接后分別系于B、C兩點，裝置靜止時細線AB水平，細線AC與豎直方向的夾角θ=37°．已知小球的質量m=1kg，細線AC 長L=1m，B點距C點的水平和豎直距離相等．（重力加速度g取10m/s²）
（1）若裝置勻速轉動的角速度為ω₁，細線AB上的張力為零而細線AC與豎直方向夾角仍為37°，求角速度的大小；
（2）若裝置勻速轉動的角速度ω=$\sqrt{10}$rad/s，求此時兩細線中拉力的大小．

Answer 1

分析 （1）當細線AB張力為零時，繩子AC拉力和重力的合力提供向心力，根據牛頓第二定律求出角速度的大�。�
（2）裝置勻速轉動的角速度ω₂=$\sqrt{10}$rad/s，小于第一問中的角速度，根據牛頓第二定律求細線AB的拉力．

解答 解：（1）當細線AB上的張力為0時，小球的重力和細線AC張力的合力提供小球圓周運動的向心力，有：
mgtan37°=mω₁²Lsin37°
解得：ω₁=$\sqrt{\frac{g}{Lcos3{7}^{0}}}$=$\sqrt{\frac{10}{1×0.8}}$=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$rad/s．
（2）由于ω₂＜ω₁，則細線AB上有拉力，為T，AC線上的拉力為F．
水平方向上根據牛頓第二定律得：Fsin37°-T=mω₂²Lsin37°
豎直方向由平衡條件可得：Fcos37°=mg
解得：F=12.5N，T=1.5N．
答：（1）角速度ω₁的大小為$\frac{5\sqrt{2}}{2}$rad/s；
（2）若裝置勻速轉動的角速度為ω₂=$\sqrt{10}$rad/s，細線AB的拉力是1.5N，AC線上的拉力為12.5N．

點評 解決本題的關鍵理清小球做圓周運動的向心力來源，確定小球運動過程中的臨界狀態(tài)，運用牛頓第二定律進行求解．