Question

5．我國(guó)自主建立的北斗導(dǎo)航系統(tǒng)已經(jīng)正式商業(yè)運(yùn)行．北斗導(dǎo)航系統(tǒng)又被稱(chēng)為“雙星定位系統(tǒng)”，具有導(dǎo)航、定位等功能．“北斗”系統(tǒng)中兩顆工作星均繞地心O做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，軌道半徑為r，某時(shí)刻兩顆工作衛(wèi)星分別位于軌道上的A、B兩位置（如圖所示）．若衛(wèi)星均順時(shí)針運(yùn)行，地球表面處的重力加速度為g，地球半徑為R．求：
（1）衛(wèi)星1運(yùn)行到A點(diǎn)的加速度大小．
（2）衛(wèi)星1運(yùn)行的周期和衛(wèi)星1由位置A首次運(yùn)動(dòng)至位置B所需的時(shí)間．

Answer 1

分析 根據(jù)牛頓第二定律求衛(wèi)星1運(yùn)行到A點(diǎn)的加速度大�。�
根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力列方程求出衛(wèi)星1運(yùn)行的角速度，進(jìn)而求出周期．

解答 解：（1）設(shè)地球和衛(wèi)星1的質(zhì)量分別為M和m，則衛(wèi)星1運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)所受萬(wàn)有引力為：F=$\frac{GMm}{{r}^{2}}$　
由牛頓第二定律，有：F=ma　
又在地球表面有有：$\frac{GM{m}_{0}}{{R}^{2}}$=m₀g　
聯(lián)立解得：a=$\frac{{R}^{2}g}{{r}^{2}}$．
（2）由$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=mrω²，ω=$\frac{2π}{T}$、$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=mg
聯(lián)立解得衛(wèi)星運(yùn)行周期T=$\frac{2πr}{R}\sqrt{\frac{r}{g}}$　
衛(wèi)星1由位置A運(yùn)動(dòng)至位置B所需的時(shí)間t=$\frac{T}{6}$=$\frac{πr}{3R}\sqrt{\frac{r}{g}}$．
答：（1）衛(wèi)星1運(yùn)行到A點(diǎn)的加速度大小為$\frac{{R}^{2}g}{{r}^{2}}$．
（2）衛(wèi)星1運(yùn)行的周期$\frac{2πr}{R}\sqrt{\frac{r}{g}}$，衛(wèi)星1由位置A首次運(yùn)動(dòng)至位置B所需的時(shí)間為$\frac{πr}{3R}\sqrt{\frac{r}{g}}$．

點(diǎn)評(píng) 關(guān)于萬(wàn)有引力的應(yīng)用中，常用公式是在地球表面重力等于萬(wàn)有引力，衛(wèi)星繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)萬(wàn)有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力，這是正確解決本題的關(guān)鍵．