Question

如圖所示，在坐標(biāo)系XOY中，過(guò)原點(diǎn)的直線OC與x軸正向的夾角φ=120°，在OC右側(cè)有一勻強(qiáng)電場(chǎng)；在第二、三象限內(nèi)有一勻強(qiáng)磁場(chǎng)，其上邊界與電場(chǎng)邊界重疊，右邊界為y軸，左邊界為圖中平行于y軸的虛線，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直紙面向里。一帶正電荷q、質(zhì)量為m的粒子以某一速度自磁場(chǎng)左邊界上的A點(diǎn)射入磁場(chǎng)區(qū)域，并從O點(diǎn)射出，粒子射出磁場(chǎng)的速度方向與x軸的交角θ=30°，大小為v，粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡為紙面內(nèi)的一段圓弧，且弧的半徑為磁場(chǎng)左右邊界間距的兩倍。粒子進(jìn)入電場(chǎng)后，在電場(chǎng)力的作用下又由O點(diǎn)返回磁場(chǎng)區(qū)域，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后再次離開(kāi)磁場(chǎng)。已知粒子從A點(diǎn)射入到第二次離開(kāi)磁場(chǎng)所用的時(shí)間恰好等于粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期。忽略重力的影響。求：

（1）粒子經(jīng)過(guò)A點(diǎn)時(shí)速度的防哪個(gè)鄉(xiāng)和A點(diǎn)到x軸的距離；

（2）勻強(qiáng)電場(chǎng)的大小和方向；

（3）粒子從第二次離開(kāi)磁場(chǎng)到再次進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)所用的時(shí)間

Answer 1

（1）設(shè)磁場(chǎng)左邊界與x軸相交于D點(diǎn)，與CO相交于O’點(diǎn)，由幾何關(guān)系可知，直線OO’與粒子過(guò)O點(diǎn)的速度v垂直。在直角三角形OO’D中∠OO’D=30°。設(shè)磁場(chǎng)左右邊界間距為d，則OO’=2d。依題意可知，粒子第一次進(jìn)入磁場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)詭計(jì)的圓心即為O’點(diǎn)，圓弧軌跡所對(duì)的圓心角為30°，切O’A為圓弧的半徑R。

由此可知，粒子自A點(diǎn)射入磁場(chǎng)的速度與左邊界垂直。A點(diǎn)到x軸的距離

            ①

由洛侖茲力公式，牛頓第二定律及圓周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，得：

           ②

聯(lián)立 ①②式得            ③

（2）設(shè)粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T(mén)，第一次在磁場(chǎng)中飛行的時(shí)間為t₁，有：

        ④                 ⑤

依題意，勻強(qiáng)電場(chǎng)的方向與x軸正向夾角應(yīng)為150°。由幾何關(guān)系可知，粒子再次從O點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)的速度方向與磁場(chǎng)右邊界夾角為60°。設(shè)粒子第二次在磁場(chǎng)中飛行的圓弧的圓心為O’’，O’’必定在直線OC上。

設(shè)粒子射出磁場(chǎng)時(shí)與磁場(chǎng)右邊解交于P點(diǎn)，則∠OO’’P=120°。

設(shè)粒子第二次進(jìn)入磁場(chǎng)在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t₂，有       ⑥

設(shè)帶電粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t₃，依題意得：     ⑦

由勻變速運(yùn)動(dòng)的規(guī)律和牛頓定律可知，－v =v－at₃          ⑧

聯(lián)立④⑤⑥⑦⑧可得：      

（3）粒子自P點(diǎn)射出后將沿直線運(yùn)動(dòng)，設(shè)其由P’點(diǎn)再次進(jìn)入電場(chǎng)，由幾何關(guān)系知：

∠O’’P’P=30°       ⑨

三角形OPP’為等腰三角形。設(shè)粒子在P、P’兩點(diǎn)間運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t₄，有   ⑩

又由幾何關(guān)系知           

聯(lián)立⑨⑩式得：