Question

如圖所示，在坐標(biāo)系XOY中，過原點(diǎn)的直線OC與x軸正向的夾角φ=120°，在OC右側(cè)有一勻強(qiáng)電場；在第二、三象限內(nèi)有一勻強(qiáng)磁場，其上邊界與電場邊界重疊，右邊界為y軸，左邊界為圖中平行于y軸的虛線，磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直紙面向里。一帶正電荷q、質(zhì)量為m的粒子以某一速度自磁場左邊界上的A點(diǎn)射入磁場區(qū)域，并從O點(diǎn)射出，粒子射出磁場的速度方向與x軸的交角θ=30°，大小為v，粒子在磁場中的運(yùn)動軌跡為紙面內(nèi)的一段圓弧，且弧的半徑為磁場左右邊界間距的兩倍。粒子進(jìn)入電場后，在電場力的作用下又由O點(diǎn)返回磁場區(qū)域，經(jīng)過一段時間后再次離開磁場。已知粒子從A點(diǎn)射入到第二次離開磁場所用的時間恰好等于粒子在磁場中做圓周運(yùn)動的周期。忽略重力的影響。求：

（1）粒子經(jīng)過A點(diǎn)時速度的防哪個鄉(xiāng)和A點(diǎn)到x軸的距離；

（2）勻強(qiáng)電場的大小和方向；

（3）粒子從第二次離開磁場到再次進(jìn)入電場時所用的時間

Answer 1

（1）設(shè)磁場左邊界與x軸相交于D點(diǎn)，與CO相交于O’點(diǎn)，由幾何關(guān)系可知，直線OO’與粒子過O點(diǎn)的速度v垂直。在直角三角形OO’D中∠OO’D=30°。設(shè)磁場左右邊界間距為d，則OO’=2d。依題意可知，粒子第一次進(jìn)入磁場的運(yùn)動詭計(jì)的圓心即為O’點(diǎn)，圓弧軌跡所對的圓心角為30°，切O’A為圓弧的半徑R。

由此可知，粒子自A點(diǎn)射入磁場的速度與左邊界垂直。A點(diǎn)到x軸的距離

            ①

由洛侖茲力公式，牛頓第二定律及圓周運(yùn)動的規(guī)律，得：

           ②

聯(lián)立 ①②式得            ③

（2）設(shè)粒子在磁場中做圓周運(yùn)動的周期為T，第一次在磁場中飛行的時間為t₁，有：

        ④                 ⑤

依題意，勻強(qiáng)電場的方向與x軸正向夾角應(yīng)為150°。由幾何關(guān)系可知，粒子再次從O點(diǎn)進(jìn)入磁場的速度方向與磁場右邊界夾角為60°。設(shè)粒子第二次在磁場中飛行的圓弧的圓心為O’’，O’’必定在直線OC上。

設(shè)粒子射出磁場時與磁場右邊解交于P點(diǎn)，則∠OO’’P=120°。

設(shè)粒子第二次進(jìn)入磁場在磁場中運(yùn)動的時間為t₂，有       ⑥

設(shè)帶電粒子在電場中運(yùn)動的時間為t₃，依題意得：     ⑦

由勻變速運(yùn)動的規(guī)律和牛頓定律可知，－v =v－at₃          ⑧

聯(lián)立④⑤⑥⑦⑧可得：      

（3）粒子自P點(diǎn)射出后將沿直線運(yùn)動，設(shè)其由P’點(diǎn)再次進(jìn)入電場，由幾何關(guān)系知：

∠O’’P’P=30°       ⑨

三角形OPP’為等腰三角形。設(shè)粒子在P、P’兩點(diǎn)間運(yùn)動的時間為t₄，有   ⑩

又由幾何關(guān)系知           

聯(lián)立⑨⑩式得：