Question

8．如圖甲所示是游樂場(chǎng)中過山車的實(shí)物圖片，可將過山車的一部分運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)化為圖乙的模型圖，模型圖中半徑為r的光滑圓形軌道固定在傾角為α的斜軌道面上，并與斜軌道圓滑相接于B點(diǎn)，圓形軌道的最高點(diǎn)C與A點(diǎn)平齊．現(xiàn)使小車（可視為質(zhì)點(diǎn)）以一定的初速度從A點(diǎn)開始沿斜面向下運(yùn)動(dòng)，已知斜軌道面與小車間的動(dòng)摩擦力為kmg，不計(jì)空氣阻力，小車恰好能通過圓形軌道的最高點(diǎn)C處，求：
（1）小車在A點(diǎn)的初速度大小；
（2）小車在圓形軌道的最低點(diǎn)D時(shí)對(duì)軌道的壓力大小．

Answer 1

分析 （1）小車恰好能通過圓形軌道的最高點(diǎn)C處，軌道對(duì)小車的彈力為零，由重力提供小車圓周運(yùn)動(dòng)所需要的向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出小車在C點(diǎn)的速度．再由動(dòng)能定理求小車在A點(diǎn)的初速度．
（2）根據(jù)動(dòng)能定理或機(jī)械能守恒求出小車在軌道D點(diǎn)時(shí)的速度，再運(yùn)用牛頓第二定律，通過支持力和重力的合力提供向心力，求出支持力，由牛頓第三定律得到壓力．

解答 解：（1）由于小車恰能通過C點(diǎn)，由重力提供小車圓周運(yùn)動(dòng)所需要的向心力，根據(jù)牛頓第二定律得：
mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{r}$…①
小車由A→C，由動(dòng)能定理得：
-kmgL_AB=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$…②
由幾何知識(shí)得：
L_AB=$\frac{1+cosθ}{sinθ}$r…③
聯(lián)立①②③三式解得：
v_A=$\sqrt{gr+2kgr\frac{1+cosθ}{sinθ}}$…④
（2）小車由D→C，由機(jī)械能守恒定律得：
 2mgr=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$…⑤
在D點(diǎn)，由牛頓第二定律得：
N-mg=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{r}$…⑥
聯(lián)立⑤⑥兩式解得：N=6mg
由牛頓第三定律知小車在最低點(diǎn)對(duì)軌道的壓力為：N′=N=6mg…⑦
答：
（1）小車在A點(diǎn)的初速度大小是$\sqrt{gr+2kgr\frac{1+cosθ}{sinθ}}$；
（2）小車在圓形軌道的最低點(diǎn)D時(shí)對(duì)軌道的壓力大小是6mg．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了牛頓第二定律和動(dòng)能定理，關(guān)鍵是理清運(yùn)動(dòng)的過程，運(yùn)用合適的規(guī)律進(jìn)行求解．