Question

（附加題）如圖所示，輕質(zhì)長繩水平地跨在相距為2L的兩個小定滑輪A、B上，質(zhì)量為m的物塊懸掛在繩上O點，O與A、B兩滑輪的距離相等．在輕繩兩端C、D分別施加豎直向下的恒力F=mg．先托住物塊，使繩處于水平拉直狀態(tài)，由靜止釋放物塊，在物塊下落過程中，保持C、D兩端的拉力F不變．
（1）當(dāng)物塊下落距離h為多大時，物塊的加速度為零？
（2）在物塊下落上述距離的過程中，克服C端恒力F做功W為多少？
（3）求物塊下落過程中的最大速度Vm和最大距離H？

Answer 1

分析：由靜止釋放后，由于繩OC和繩OB對物塊的合力小于重力，所以物塊向下先作加速運動，隨著物塊的下落，兩繩間的夾角逐漸減�。�因為繩子對物塊的拉力大小不變，恒等于F，所以隨著兩繩間的夾角減小，兩繩對物塊拉力的合力將逐漸增大，物塊所受的合力逐漸減小，向下加速度逐漸減�。�當(dāng)物兩繩的合力等于物塊的重力時，即塊的合外力為零時，速度達到最大值v_m．故加速度為零時重力等于兩繩的合力．之后，因為兩繩間夾角繼續(xù)減小，兩繩合力大于物塊的重力，物塊所受合外力豎直向上，且逐漸增大，物塊將作加速度逐漸增大的減速運動．當(dāng)物塊下降速度減為零時，物塊豎直下落的距離達到最大值H．當(dāng)物塊的加速度為零時，由共點力平衡條件可求出相應(yīng)的θ角，再由θ角求出相應(yīng)的距離h，進而求出克服C端恒力F所做的功．對物塊運用動能定理可求出物塊下落過程中的最大速度Vm和最大距離H．
（1）故加速度為零時應(yīng)有重力等于兩繩的合力．
（2）由加速度為零時下落的高度h，可以由幾何關(guān)系解出C點向上運動的距離，從而可以求出F做的功W_F，故克服力F做的功為-W_F
（3）由于下落h時速度為v_m，故由動能定理即可求出v_m；物塊速度為零時下落距離為H，由動能定理求解H．

解答：解：（1）當(dāng)物塊所受的合外力為零時，加速度為零，此時物塊下降距離為h．因為F恒定，所以兩繩對物塊拉力大小分別為F，兩繩與豎直方向夾角均為θ，由平衡條件知：
2Fcosθ=mg2θ=120°，所以θ=60°，
由圖知：h=Ltan30°=

3

3

L  ①
（2）物塊下落h時，繩的C、D端均上升h′由幾何關(guān)系可得：h′=

l2+h2

-L  ②
克服C端恒力F做的功為：W=Fh′③
由①②③式聯(lián)立解得：W=（

2 3

3

-1）mgL
（3）在物塊下落過程中，共有三個力對物塊做功．重力做正功，兩端繩子對物塊的拉力做負功．兩端繩子拉力做的功就等于作用在C、D端的恒力F所做的功．因為物塊下降距離h時動能最大．由動能定理得：mgh-2W=

1

2

m

v

2 m

  ④
將①②③式代入④式解得：v_m=

2(2- 3 )gl

當(dāng)物塊速度減小為零時，物塊下落距離達到最大值H，繩C、D上升的距離為H’．由動能定理得：
mgH-2mgH′=0，又H′=

H2+l2

-L，
聯(lián)立解得：H=

4

3

l．
答：（1）當(dāng)物塊下落距離h為

3

3

時，物塊的加速度為零．
（2）在物塊下落上述距離的過程中，克服C端恒力F做功W為（

2 3

3

-1）mgL．
（3）物塊下落過程中的最大速度v_m為

2(2- 3 )gl

，最大距離H為

4

3

l．

點評：本題是連接體問題，根據(jù)牛頓第二定律研究加速度為零時的條件，由系統(tǒng)機械能守恒研究物塊下降的最大距離，同時要合理運用幾何關(guān)系輔助求解．