Question

17．如圖所示，水平虛線L₁、L₂之間是勻強磁場，磁場方向水平向里，磁場高度為h．豎直平面內(nèi)有一等腰梯形線框，底邊水平，其上下邊長之比為5：1，高為2h．現(xiàn)使線框AB邊在磁場邊界L₁的上方h高處由靜止自由下落，當AB邊剛進入磁場時加速度恰好為0，在DC邊剛進入磁場前的一段時間內(nèi)，線框做勻速運動．求：
（1）在DC邊進入磁場前，線框做勻速運動時的速度與AB邊剛進入磁場時的速度比是多少？
（2）DC邊剛進入磁場時，線框加速度的大小為多少？
（3）從線框開始下落到DC邊剛進入磁場的過程中，線框的機械能損失和重力做功之比？

Answer 1

分析 （1）（2）由機械能守恒求出AB剛進入磁場時的速度．根據(jù)AB剛進入磁場時加速度恰好為0，由平衡條件列出重力與安培力的關系方程．在DC邊剛進入磁場前的一段時間內(nèi)，線框做勻速運動，此時線框有效切割長度為2l，由平衡條件得到重力與安培力的關系式，將兩個重力與安培力的關系式進行對比，求出DC邊剛進入磁場前線框勻速運動時的速度．DC邊剛進入磁場瞬間，線框有效切割的長度為3l，推導出安培力表達式，由牛頓第二定律求出加速度．
（3）從線框開始下落到DC邊剛進入磁場的過程中，根據(jù)能量守恒求出機械能的損失，再求解線框的機械能損失和重力做功之比．

解答 解：（1）設AB邊剛進入磁場時速度為v₀，線框質量為m、電阻為R，AB=l，則CD=5l
則$mgh=\frac{1}{2}mv_0^2$
AB剛進入磁場時有，$\frac{{{B^2}{l^2}{v_0}}}{R}=mg$ 
解得：${v}_{0}=\frac{mgR}{{B}^{2}{l}^{2}}$
設DC邊剛進入磁場前
勻速運動時速度為v₁，線框切割磁感應線的有效長度為2l，
${E_感}=\frac{△Φ}{△t}=\frac{B△S}{△t}=\frac{{B（{L_上}{v_1}-{L_下}{v_1}）△t}}{△t}=B（2l）{v_1}$   
線框勻速運動時有$\frac{{{B^2}{{（2l）}^2}{v_1}}}{R}=mg$；
解得：${v}_{1}=\frac{mgR}{4{B}^{2}{l}^{2}}$
所以：v₁：v₀=1：4 
（2）CD剛進入磁場瞬間，線框切割磁感應線的有效長度為3l，
E'_感=B•3l•v₁ ${F_1}=B{I_1}•3l=\frac{{{B^2}{{（3l）}^2}{v_1}}}{R}=\frac{9}{4}mg$  
有牛頓第二定律：F_合=ma
解得：$a=\frac{{{F_1}-mg}}{m}=\frac{5}{4}g$
（3）從線框開始下落到CD邊進入磁場前瞬間，根據(jù)能量守恒定律得：$mg•3h-Q=\frac{1}{2}mv_1^2$
機械能損失$△E=Q=\frac{47}{16}mgh$
重力做功  W_G=mg•3h
所以，線框的機械能損失和重力做功之比△E：W_G=47：48
答：
（1）在DC邊進入磁場前，線框做勻速運動時的速度與AB邊剛進入磁場時的速度比是1：4 
（2）DC邊剛進入磁場時，線框加速度的大小為$\frac{5}{4}g$
（3）從線框開始下落到DC邊剛進入磁場的過程中，線框的機械能損失和重力做功之比為47：48

點評 本題要研究物體多個狀態(tài)，再找它們的關系，關鍵要寫出線框有效的切割長度，即與速度方向垂直的導體等效長度．