Question

9．如圖所示，兩足夠長(zhǎng)的平行光滑的金屬導(dǎo)軌MN、PQ相距為L(zhǎng)，導(dǎo)軌平面與水平面的夾角θ=30°，導(dǎo)軌電阻不計(jì)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)垂直于導(dǎo)軌平面向上．長(zhǎng)為L(zhǎng)的金屬棒ab垂直于MN、PQ放置在導(dǎo)軌上，且始終與導(dǎo)軌接觸良好，金屬棒的質(zhì)量為m、電阻為R．兩金屬導(dǎo)軌的上端連接一個(gè)燈泡，燈泡的電阻也為R．現(xiàn)閉合開(kāi)關(guān)K，給金屬棒施加一個(gè)方向垂直于桿且平行于導(dǎo)軌平面向上的、大小為F=2mg的恒力，使金屬棒由靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，當(dāng)金屬棒達(dá)到最大速度時(shí)，燈泡恰能達(dá)到它的額定功率．重力加速度為g，求：
（1）金屬棒能達(dá)到的最大速度v_m；
（2）燈泡的額定功率P_L；
（3）若金屬棒上滑距離為s時(shí)速度恰達(dá)到最大，求金屬棒由靜止開(kāi)始上滑2s的過(guò)程中，金屬棒上產(chǎn)生的電熱Q₁．

Answer 1

分析 （1）金屬棒ab先加速下滑，所受的安培力增大，加速度減小，后勻速下滑，速度達(dá)到最大．由閉合電路歐姆定律、感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)和安培力公式推導(dǎo)出安培力的表達(dá)式，根據(jù)平衡條件求解最大速度．
（2）有電功率定義式求解額定功率
（3）當(dāng)金屬棒下滑直到速度達(dá)到最大的過(guò)程中，金屬棒的機(jī)械能減小轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，根據(jù)能量守恒定律求解電熱．

解答 解：（1）金屬棒先做加速度逐漸減小的加速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)加速度為零時(shí)，金屬棒達(dá)到最大速度，此后開(kāi)始做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)．
設(shè)最大速度為v_m，則速度達(dá)到最大時(shí)有：
E=BLv_m    $I=\frac{E}{2R}$     F=BIL+mgsinθ                                      
解得：${v}_{m}=\frac{3mgR}{{B}^{2}{L}^{2}}$                                
 （2）根據(jù)電功率表達(dá)式：${P}_{L}={I}^{2}R$                                         
       解得：${P}_{L}=（\frac{E}{2R}）^{2}R=\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{m}^{2}}{4R}$=$\frac{9{m}^{2}{g}^{2}R}{4{B}^{2}{L}^{2}}$                                        
（3）設(shè)整個(gè)電路放出的電熱為Q，由能量守恒定律有：
$F2S=Q+mgsinθ2S+\frac{1}{2}m{v}_{m}^{2}$
解得：Q=$3mgS-\frac{9{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{2{B}^{4}{L}^{4}}$                            
根據(jù)串聯(lián)電路特點(diǎn)，可知金屬棒上產(chǎn)生的電熱Q₁=$\frac{Q}{2}$                                        
  解得：Q₁=$\frac{3mgS}{2}-\frac{9{m}^{3}{{g}^{2}R}^{2}}{4{B}^{4}{L}^{4}}$
答：（1）金屬棒能達(dá)到的最大速度：${v}_{m}=\frac{3mgR}{{B}^{2}{L}^{2}}$；
（2）燈泡的額定功率P_L$\frac{9{m}^{2}{g}^{2}R}{4{B}^{2}{L}^{2}}$；
（3）金屬棒上產(chǎn)生的電熱Q₁為 $\frac{3mgS}{2}-\frac{9{m}^{3}{{g}^{2}R}^{2}}{4{B}^{4}{L}^{4}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題對(duì)綜合應(yīng)用電路知識(shí)、電磁感應(yīng)知識(shí)和數(shù)學(xué)知識(shí)的能力要求較高，但是常規(guī)題，要得全分．