Question

1．一探險(xiǎn)隊(duì)在探險(xiǎn)時(shí)遇到一山溝，垂直山溝方向的橫切面如圖所示，山溝的一側(cè)OA豎直，另一側(cè)的坡面與橫切面的交線OB呈拋物線形狀，與一平臺(tái)BC相連．已知山溝豎直一側(cè)OA的高度為2h，平臺(tái)的高度為h，C點(diǎn)離豎直一側(cè)OA的水平距離為2h．以溝底的O點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系xOy，坡面與橫切面的交線的拋物線方程為y=$\frac{{x}^{2}}{2h}$．質(zhì)量為m的探險(xiǎn)隊(duì)員從山溝的豎直一側(cè)沿水平方向跳向平臺(tái)．探險(xiǎn)隊(duì)員可視為質(zhì)點(diǎn)，忽略空氣阻力，重力加速度為g．
（1）若探險(xiǎn)隊(duì)員以速度v₀水平跳出時(shí)，落在坡面OB的某處，則他在空中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為多少？
（2）為了能跳在平臺(tái)上，他的初速度大小應(yīng)滿足什么條件？請(qǐng)計(jì)算說明．

Answer 1

分析 （1）人落在OB上某位置時(shí)，確定有位置坐標(biāo)，根據(jù)位置坐標(biāo)可以求出平拋運(yùn)動(dòng)下落和水平方向的位移，根據(jù)水平方向勻速直線運(yùn)動(dòng)豎直方向自由落體運(yùn)動(dòng)列方程求解即可；
（2）人落在平臺(tái)上，抓住臨界點(diǎn)B和C分別求出初速度，則落在平臺(tái)上的初速度應(yīng)該介于這兩個(gè)初速度之間．

解答 解：（1）設(shè)探險(xiǎn)隊(duì)員跳到坡面上時(shí)水平位移為x，豎直位移為H，
由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律有：
x=v₀t     ①
H=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$  ②
根據(jù)幾何關(guān)系有：
y=2h-H
由于落在OB上滿足拋物體線方程即y=$\frac{{x}^{2}}{2h}$，
2h-H=$\frac{{x}^{2}}{2h}$    ③
由①②③可解得H=$\frac{2g{h}^{2}}{{{v}_{0}}^{2}+gh}$，
即運(yùn)動(dòng)時(shí)間t=$\sqrt{\frac{4{h}^{2}}{{{v}_{0}}^{2}+gh}}$．
（2）若探險(xiǎn)員掉在C處，根據(jù)題意應(yīng)該滿足幾何關(guān)系有：
$h=\frac{1}{2}g{t}^{2}$，解得t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$，
又因?yàn)閤=2h=v₀t，所以${v}_{0}=\sqrt{2gh}$，
若探險(xiǎn)員掉在B 處，有：h=$\frac{{x}^{2}}{2h}$，
x=$\sqrt{2}h$=v₀t，
解得${v}_{0}=\sqrt{gh}$，
即探險(xiǎn)員落在BC處的速度關(guān)系應(yīng)該滿足：$\sqrt{gh}≤{v}_{0}≤\sqrt{2gh}$．
答：（1）他在空中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為$\sqrt{\frac{4{h}^{2}}{{{v}_{0}}^{2}+gh}}$．
（2）為了能跳在平臺(tái)上，他的初速度應(yīng)滿足$\sqrt{gh}≤{v}_{0}≤\sqrt{2gh}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵知道平拋運(yùn)動(dòng)在水平方向和豎直方向上的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，結(jié)合數(shù)學(xué)關(guān)系，抓住臨界情況，運(yùn)用運(yùn)動(dòng)學(xué)公式靈活求解，有一定的難度．