Question

2．如圖，一個(gè)傳送帶傾斜放置，傾角α=53°，傳送帶的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.5，長度L=10m，傳送帶沿順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)，一個(gè)質(zhì)量m=1kg的物體1在光滑的平臺(tái)上向右做勻速直線運(yùn)動(dòng)，速度大小為V₀，在平臺(tái)末端，物體1和靜止的相同質(zhì)量的物體2發(fā)生彈性碰撞，碰撞后物體2水平拋出，當(dāng)物體2運(yùn)動(dòng)到傳送帶上表面頂端A點(diǎn)時(shí)，速度方向剛好和傳送帶上表面平行，即物體2無碰撞地運(yùn)動(dòng)到傳送帶上，已知斜面頂端與平臺(tái)的高度差h=0.8m，重力加速度g=10m/s²，sin53°=0.8，cos53°=0.6．求：
（1）物體1的速度的大小V₀
（2）如果傳送帶靜止，求物體2在傳送帶上下滑時(shí)的加速度．
（3）討論傳送帶的摩擦力對(duì)物體2做的功W_f與傳送帶轉(zhuǎn)動(dòng)速度V的關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）物體在平臺(tái)上飛出后做平拋運(yùn)動(dòng)，由運(yùn)動(dòng)的合成與分解可求得平臺(tái)上運(yùn)動(dòng)的速度；
（2）由A到B的過程中，由動(dòng)能定理可求得物體到達(dá)傳送帶下端B點(diǎn)的速度；
（3）根據(jù)物體2運(yùn)動(dòng)到傳送帶上的速度與傳送帶速度的關(guān)系，分析其運(yùn)動(dòng)情況，根據(jù)動(dòng)能定理求出摩擦力對(duì)物體2做的功W_f，并分析與傳送帶速度v的關(guān)系．

解答 解：（1）物體1、2發(fā)生彈性碰撞，因?yàn)槟芰亢蛣?dòng)量都守恒，碰撞后兩物體速度交換，物體2以速度v₀水平拋出，之后物體2做平拋運(yùn)動(dòng)，由運(yùn)動(dòng)的合成與分解可得：
$\frac{{v}_{y}}{{v}_{x}}$=tan53°
又 v_y²=2gh，v_y=$\sqrt{2gh}$=$\sqrt{2×10×0.8}$=4m/s
則得 v₀=$\frac{{v}_{y}}{tan53°}$=$\frac{4}{\frac{4}{3}}$m/s=3m/s；
（2）傳送帶靜止時(shí)，物體2在傳送帶上加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，由牛頓第二定律得：
mgsin53°-μmgcos53°=ma
則得 a=g（sin53°-μcos53°）=10×（0.8-0.5×0.6）=5m/s²；
（3）物體2到達(dá)A點(diǎn)的速度為 v_A=$\frac{{v}_{0}}{cos53°}$=$\frac{3}{0.6}$=5m/s
若傳送帶速度很快，物體2在傳送帶上的速度始終比傳送帶慢，設(shè)物體2到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的速度大小為v_B，由動(dòng)能定理得：
（mgsin53°+μmgcos53°）L=$\frac{1}{2}$m${v}_{B}^{2}$-$\frac{1}{2}$m${v}_{A}^{2}$
解得：v_B=7$\sqrt{5}$m/s
故當(dāng)v＜5m/s，滑動(dòng)摩擦力對(duì)物體2一直做負(fù)功，W_f=-μmgcos53°L=-30J
當(dāng)5m/s＜v＜7$\sqrt{5}$m/s時(shí)，物體2在傳送帶上開始時(shí)比傳送帶慢，設(shè)在傳送帶上經(jīng)過距離S物體2速度達(dá)到v．
由動(dòng)能定理得：（mgsin53°+μmgcos53°）S=$\frac{1}{2}$mv²-$\frac{1}{2}$m${v}_{A}^{2}$
則得：S=$\frac{{v}^{2}-25}{22}$
物體2在傳送帶上前S距離內(nèi)摩擦力做正功，后L-S的距離摩擦力做負(fù)功．
故摩擦力做功 W_f=μmgcos53°S-μmgcos53°（L-S）=$\frac{3{v}^{2}-405}{11}$
答：（1）物體1的速度的大小v₀是3m/s；
（2）如果傳送帶靜止，物體2在傳送帶上下滑時(shí)的加速度是5m/s²；
（3）傳送帶的摩擦力對(duì)物體2做的功W_f與傳送帶轉(zhuǎn)動(dòng)速度v的關(guān)系為：
當(dāng)v＜5m/s，W_f=-30J．
當(dāng)5m/s＜v＜7$\sqrt{5}$m/s時(shí)，W_f=$\frac{3{v}^{2}-405}{11}$．

點(diǎn)評(píng) 本題中物體物體先后經(jīng)歷了平拋、勻加速及勻減速直線運(yùn)動(dòng)，在多過程運(yùn)動(dòng)的題目中動(dòng)能定理及功能關(guān)系應(yīng)為解題的首選．