Question

11．如圖，半徑R=0.5m的光滑圓弧軌道ABC與足夠長(zhǎng)的粗糙軌道CD在C處平滑連接，O為圓弧軌道ABC的圓心，B點(diǎn)為圓弧軌道的最低點(diǎn)，半徑OA、OC與OB的夾角分別為53°和37°．將一個(gè)質(zhì)量m=0.5kg的物體（視為質(zhì)點(diǎn)）從A點(diǎn)左側(cè)高為h=0.8m處的P點(diǎn)水平拋出，恰從A點(diǎn)沿切線方向進(jìn)入圓弧軌道．已知物體與軌道CD間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.8，重力加速度g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．求：
（1）物體水平拋出時(shí)的初速度大小V₀；
（2）物體經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)，對(duì)圓弧軌道壓力大小F_N；
（3）物體在軌道CD上運(yùn)動(dòng)的距離x．

Answer 1

分析 （1）物體做平拋運(yùn)動(dòng)，由自由落體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求出物體落在A時(shí)的豎直分速度，然后應(yīng)用運(yùn)動(dòng)的合成與分解求出物體的初速度大小v₀．
（2）通過(guò)計(jì)算分析清楚物體的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，由能量守恒定律求出物體在B點(diǎn)的速度，然后又牛頓第二定律求出物體對(duì)圓弧軌道壓力大小F_N；
（3）因μmgcos37°＞mgsin37°，物體沿軌道CD向上作勻減速運(yùn)動(dòng)，速度減為零后不會(huì)下滑，然后由動(dòng)能定理即可求解．

解答 解：（1）由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律知  $v_y^2=2gh$
豎直分速度 ${v_y}=\sqrt{2gh}=4$m/s                                 
由圖可得初速度 v₀=v_ytan37°=3m/s             
（2）對(duì)從P至B點(diǎn)的過(guò)程，由機(jī)械能守恒有  $mg（h+R-Rcos53°）=\frac{1}{2}mv_B^2-\frac{1}{2}mv_0^2$
經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)，由向心力公式有  ${F_N}^′-mg=m\frac{v_B^2}{R}$
代入數(shù)據(jù)解得  ${F_N}^′$=34N                  
由牛頓第三定律知，對(duì)軌道的壓力大小為 F_N=${F_N}^′$=34N，方向豎直向下       
（3）因μmgcos37°＞mgsin37°，物體沿軌道CD向上作勻減速運(yùn)動(dòng)，速度減為零后不會(huì)下滑．                           
從B到上滑至最高點(diǎn)的過(guò)程，由動(dòng)能定理有
  $-mgR（1-cos37°）-（mgsin37°+μmgcos37°）x=0-\frac{1}{2}mv_B^2$
代入數(shù)據(jù)可解得  $x=\frac{135}{124}≈1.09$m
在軌道CD上運(yùn)動(dòng)通過(guò)的路程x約為1.09m       
答：
（1）物體水平拋出時(shí)的初速度大小是3m/s；
（2）物體經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)，對(duì)圓弧軌道壓力大小是34N；
（3）物體在軌道CD上運(yùn)動(dòng)的距離是1.09m．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是分析清楚物體的運(yùn)動(dòng)情況，然后根據(jù)動(dòng)能定理、平拋運(yùn)動(dòng)知識(shí)、能量守恒定理解題．