Question

15．如圖所示，在水平面上固定一個(gè)氣缸，缸內(nèi)由質(zhì)量為m的活塞封閉一定質(zhì)量的理想氣體，活塞與缸壁間無(wú)摩擦且無(wú)漏氣，活塞到氣缸底距離為L(zhǎng)₀，今有一質(zhì)量也為m的重物自活塞上方h高處自由下落到活塞上并立即以碰前速度的$\frac{1}{2}$與活塞一起向下運(yùn)動(dòng)，向下運(yùn)動(dòng)過(guò)程中活塞可達(dá)到的最大速度為v，求從活塞開(kāi)始向下移動(dòng)到達(dá)到最大速度的過(guò)程中活塞對(duì)封閉氣體做的功．（被封閉氣體溫度不變，外界大氣壓強(qiáng)為P₀）

Answer 1

分析 首先根據(jù)題意，判斷出當(dāng)活塞受到的合外力為0時(shí)，活塞向下運(yùn)動(dòng)的速度最大，然后又功能關(guān)系得出重物到達(dá)活塞時(shí)的速度，以及重物與活塞碰撞后活塞的速度，最后結(jié)合理想氣體的狀態(tài)方程即可求出結(jié)果．

解答 解：重物自由下落重力勢(shì)能轉(zhuǎn)化為動(dòng)能：$mgh=\frac{1}{2}m{v_0}^2$
碰后速度為$\frac{1}{2}{v_0}=\frac{{\sqrt{2gh}}}{2}$
以封閉氣體為對(duì)象，有p₁SL₀=p₂S（L₀-△L）
初態(tài)對(duì)活塞：p₁S-mg-p₀S=0
最大速度對(duì)活塞與重物：p₂S-p₀S-2mg=0
對(duì)活塞和重物為對(duì)象，由動(dòng)能定理，從碰撞后到最大速度，有：$2mg△L+{P_0}S△L+W=\frac{1}{2}2m{v^2}-\frac{1}{2}2m{（\frac{1}{2}{v_0}）^2}$
解得：$W=m{v^2}-mg（{L_0}+\frac{1}{2}h）$
所以：活塞對(duì)氣體做功為$W'=mg（{L_0}+\frac{1}{2}h）-m{v^2}$
答：活塞對(duì)封閉氣體做的功是$mg（{L}_{0}+\frac{1}{2}h）-m{v}^{2}$．

點(diǎn)評(píng) 該題不僅僅涉及了則氣體的狀態(tài)方程，還涉及到功能關(guān)系以及牛頓第二定律的動(dòng)態(tài)分析，解題的關(guān)鍵是找出活塞的速度最大對(duì)應(yīng)的受力的狀態(tài)以及氣體對(duì)應(yīng)的狀態(tài)．