Question

如圖所示，坐標(biāo)系xOy在豎直平面內(nèi)，光滑且絕緣的水平軌道MN的長(zhǎng)度為L(zhǎng)，N點(diǎn)到O點(diǎn)的豎直距NO=

3

2

L．有一質(zhì)量為m、電荷量為+q的帶電小球（可看成質(zhì)點(diǎn)）放在M點(diǎn)．已知在第一象限分布著互相垂直的勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)，電場(chǎng)方向豎直向上，場(chǎng)強(qiáng)E2=

mg

q

；磁場(chǎng)方向水平（圖中垂直紙面向外），磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B；在第二象限分布著沿x軸正向的水平勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)E1=

B2qL

6m

．求
（1）小球到達(dá)N點(diǎn)的速度大小
（2）小球到達(dá)x軸上的坐標(biāo)
（3）小球從M點(diǎn)由靜止釋放至落到x軸上所需的時(shí)間（設(shè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中小球所帶的電荷量不變）．

Answer 1

分析：根據(jù)動(dòng)能定理列方程求小球到到N點(diǎn)的速度；
根據(jù)位移公式和牛頓第二定律求出小球從M到N點(diǎn)的時(shí)間，小球進(jìn)入第一象限后電場(chǎng)力與重力平衡，根據(jù)洛倫茲力提供向心力求出做圓周運(yùn)動(dòng)半徑，畫出軌跡，由幾何知識(shí)求得到達(dá)x軸的坐標(biāo)；
由圓周運(yùn)動(dòng)周期公式T=

2πm

qB

結(jié)合圓心角求出磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，總時(shí)間為電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間與磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間之和．

解答：解：（1）設(shè)帶電小球運(yùn)動(dòng)到N點(diǎn)時(shí)速度為v_N，由動(dòng)能定理：
E₁qL=

1

2

mv_N²
解得：v_N=

3

3

BLq

m

（2）當(dāng)小球進(jìn)入第一象限后，qE₂=mg
所受電場(chǎng)力與重力平衡，所以帶電小球?qū)⒆鰟蛩賵A周運(yùn)動(dòng)：Bqv_N=m

vN2

R

則小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑R=

mvN

qB

=

3

3

L

設(shè)圓周運(yùn)動(dòng)的圓心在圖中的O′點(diǎn)，小球落點(diǎn)為P，O′O=NO-R=

3

6

L
∠OO′P=arccos

OO′

R

=arccos

1

2

=60°
則帶電粒子轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角為120°
到達(dá)x軸的位置到O點(diǎn)的距離為

3

2

R=

1

2

L
（3）設(shè)小球從M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到N點(diǎn)設(shè)用時(shí)為t₁，則L=

1

2

a₁t₁²
qE₁=ma₁
聯(lián)立解得：t₁=

2 3 m

qB

，
帶電小球從N點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)所用時(shí)間t₂=

1

3

T=

2πm

qB

×

1

3

=

2πm

3qB

小球從M點(diǎn)出發(fā)到x軸的過(guò)程中所用時(shí)間t=t₁+t₂=

2 3 m

qB

+

2πm

3qB

．
答：（1）小球到達(dá)N點(diǎn)的速度大小

3 BLq

3m

．
（2）小球到達(dá)x軸上的坐標(biāo)（

1

2

L，0）．
（3）小球從M點(diǎn)由靜止釋放至落到x軸上所需的時(shí)間（設(shè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中小球所帶的電荷量不變）

2 3 m

qB

+

2πm

3qB

．

點(diǎn)評(píng)：本題的關(guān)鍵是找出粒子在混合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的圓心畫出軌跡，這是解決多數(shù)帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的突破口．