Question

12．如圖所示，水平面上有一質(zhì)量M=18kg的木板，其右端恰好和$\frac{1}{4}$光滑圓弧軌道AB的底端等高對(duì)接，木板右端有一質(zhì)量m₀=3kg的物體C（可視為質(zhì)點(diǎn)），已知圓弧軌道半徑R=0.9m．現(xiàn)將一質(zhì)量m=6kg的小滑塊P（可視為質(zhì)點(diǎn)）由軌道頂端A點(diǎn)無(wú)初速釋放，小滑塊滑到B端后沖上木板，并與木板右端的物體C粘在一起，沿木板向左滑行，最后恰好沒有從木板左端滑出．已知小滑塊p與  木板上表面的動(dòng)摩擦因數(shù)μ₁=0.25，物體c與木板上表面的動(dòng)摩擦因數(shù)μ₂=0.5，木板與水平面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ₃=0.1，取g=10m/s²．求：
（l）小滑塊到達(dá)B端時(shí)，軌道對(duì)它支持力的大��；
（2）小滑塊P與C碰撞結(jié)束時(shí)共同速度大��；
（3）木板的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)機(jī)械能守恒求出小滑塊P從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)的速度，根據(jù)牛頓第二定律求出軌道對(duì)它的支持力．
（2）根據(jù)動(dòng)量守恒定律求滑塊P與C碰撞結(jié)束時(shí)共同速度大小．
（3）滑塊P和C的共同體滑上木板后，木板做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，滑塊做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，若兩者速度相等時(shí)，一起做勻速直線運(yùn)動(dòng)．根據(jù)系統(tǒng)的動(dòng)量守恒，求出速度相等時(shí)的共同速度，由能量守恒定律對(duì)系統(tǒng)研究列式，求出木板的長(zhǎng)度l．

解答 解：（1）小滑塊P從A端下滑到B端，由機(jī)械能守恒得：
  mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
得：v₀=3$\sqrt{2}$m/s
在B點(diǎn)，由牛頓第二定律得：F_N-mg=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
解得軌道對(duì)滑塊的支持力為：F_N=3 mg=3×6×10=180 N   
（2）滑塊P滑上木板后，與木板右側(cè)的物體C發(fā)生碰撞，以向左為正方向，設(shè)碰撞后共同的速度為v₁，由動(dòng)量守恒定律得：
  mv₀=（m+m₀）v₁
代入數(shù)據(jù)得：v₁=2$\sqrt{2}$m/s
（3）對(duì)滑塊P、物塊C以及木板，三者組成的系統(tǒng)，設(shè)末速度為v₂，取向左為正方向，
由動(dòng)量守恒定律有：
（m+m₀）v₁=（m+m₀+M）v₂，
由能的轉(zhuǎn)化和守恒定律得：
   μ₁mgl+μ₂m₀gl=$\frac{1}{2}$（m+m₀）${v}_{1}^{2}$-$\frac{1}{2}$（M+m+m₀）${v}_{2}^{2}$
代入數(shù)據(jù)得：l=$\frac{8}{7}$m
答：
（1）滑塊到達(dá)圓弧的B端時(shí)，軌道對(duì)它的支持力大小為180N．
（2）小滑塊P與C碰撞結(jié)束時(shí)共同速度大小是2$\sqrt{2}$m/s．
（3）木板的長(zhǎng)度是$\frac{8}{7}$m．

點(diǎn)評(píng) 本題是機(jī)械能守恒、牛頓第二定律、動(dòng)量守恒和能量守恒的綜合應(yīng)用，根據(jù)能量守恒定律求解滑塊相對(duì)木板滑行的距離是常用的方法．