Question

5．假設(shè)地球可視為質(zhì)量均勻分布的球體，已知地球表面重力加速度在兩極的大小為g₀，赤道的大小為g；地球自轉(zhuǎn)的周期為T，引力常量為G．則地球的密度為（　�。�

• A． $\frac{3π（{g}_{0}-g）}{G{T}^{2}{g}_{0}}$
• B． $\frac{3π{g}_{0}}{G{T}^{2}（{g}_{0}-g）}$
• C． $\frac{3π}{G{T}^{2}}$
• D． $\frac{3π{g}_{0}}{G{T}^{2}g}$

Answer 1

分析 分別寫出赤道上物體的向心力與地球表面物體的萬有引力的表達(dá)式，結(jié)合質(zhì)量與球體體積的表達(dá)式，聯(lián)立即可求出．

解答 解：地球兩極的物體受到的萬有引力等于重力，所以：
$\frac{GMm}{{R}^{2}}=m{g}_{0}$
赤道上的物體需要的向心力：
${F}_{n}=m（\frac{2π}{T}）^{2}•R$
則：mg=mg₀-F_n
聯(lián)立可得：$R=\frac{{g}_{0}-g}{4{π}^{2}}•{T}^{2}$
地球的質(zhì)量：M=$\frac{{g}_{0}{R}^{2}}{G}$
又：M=ρV=$ρ•\frac{4}{3}π{R}^{3}$
所以：$ρ=\frac{M}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}=\frac{{g}_{0}{R}^{2}}{G•\frac{4}{3}π{R}^{3}}=\frac{3{g}_{0}}{4πGR}$=$\frac{3{g}_{0}}{4πG}•\frac{4{π}^{2}}{（{g}_{0}-g）{T}^{2}}$=$\frac{3π{g}_{0}}{G{T}^{2}（{g}_{0}-g）}$
故選：B

點評 該題結(jié)合地球表面的重力加速度的變化情況來考察對萬有引力定律的應(yīng)用和對重力加速度的理解，是一道理論結(jié)合實際的好題．