Question

13．如圖所示為研究電子槍中電子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的簡(jiǎn)化模型示意圖．在xOy平面的第一象限，存在以x軸、y軸及雙曲線y=$\frac{{L}^{2}}{4x}$的一段（0≤x≤L，0≤y≤L）為邊界的勻強(qiáng)電場(chǎng)區(qū)域Ⅰ；在第二象限存在以x=-L、x=-2L、y=0、y=L的勻強(qiáng)電場(chǎng)區(qū)域Ⅱ．兩個(gè)電場(chǎng)大小均為E，不計(jì)電子所受重力，電子的電荷量為e，求：
（1）從電場(chǎng)區(qū)域Ⅰ的邊界B點(diǎn)處由靜止釋放電子，電子離開(kāi)MNPQ時(shí)的坐標(biāo)；
（2）由電場(chǎng)區(qū)域Ⅰ的AB曲線邊界由靜止釋放電子離開(kāi)MNPQ的最小動(dòng)能．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)求出B點(diǎn)距離y軸的距離．由動(dòng)能定理求出電子從B運(yùn)動(dòng)到C時(shí)的速度．電子離開(kāi)第一象限電場(chǎng)后，先做勻速直線運(yùn)動(dòng)，進(jìn)入第二象限電場(chǎng)后做類平拋運(yùn)動(dòng)：水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，豎直方向做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律求出加速度，由位移公式求出水平位移．
（2）設(shè)從AB曲線邊界處釋放位置坐標(biāo)為（x，y），再根據(jù)動(dòng)能定理和類平拋運(yùn)動(dòng)的分解方法，求出電子從第二象限射出電場(chǎng)的位置．對(duì)全過(guò)程應(yīng)用動(dòng)能定理，得到電子離開(kāi)MNPQ時(shí)的動(dòng)能與x的關(guān)系，由數(shù)學(xué)知識(shí)求出最小的動(dòng)能．

解答 解：（1）設(shè)電子的質(zhì)量為m，電子在電場(chǎng)Ⅰ中做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，出區(qū)域Ⅰ的速度為v₀，接著在無(wú)電場(chǎng)區(qū)域勻速運(yùn)動(dòng)，此后進(jìn)入電場(chǎng)Ⅱ，在電場(chǎng)Ⅱ中做類平拋運(yùn)動(dòng)，假設(shè)電子從NP邊射出，出射點(diǎn)坐標(biāo)為y₁，由y=$\frac{{L}^{2}}{4x}$得，對(duì)于B點(diǎn)，y=L，則x=$\frac{L}{4}$
由動(dòng)能定理得 eE$\frac{L}{4}$=$\frac{1}{2}$m${v}_{0}^{2}$
解得 v₀=$\sqrt{\frac{eEL}{2m}}$
設(shè)在電場(chǎng)Ⅱ中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t₁，則有t₁=$\frac{L}{{v}_{0}}$
電子在y方向的位移：L-y₁=$\frac{1}{2}$a${t}_{1}^{2}$=$\frac{1}{2}•\frac{eE}{m}（\frac{L}{{v}_{0}}）^{2}$
解得  y₁=0
所以原假設(shè)成立，即電子離開(kāi)MNPQ區(qū)域的位置坐標(biāo)為（-2L，0）．
（2）設(shè)釋放點(diǎn)在電場(chǎng)區(qū)域Ⅰ中的坐標(biāo)為（x，y）．在電場(chǎng)Ⅰ中電子被加速，速度為v₁時(shí)飛離電場(chǎng)Ⅰ，接著在無(wú)電場(chǎng)區(qū)域做勻速運(yùn)動(dòng)，然后進(jìn)入電場(chǎng)Ⅱ做類平拋運(yùn)動(dòng)，并從NP邊離開(kāi)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t₂，偏轉(zhuǎn)位移為y₂，則有   
  eEx=$\frac{1}{2}$mv₁²；
y₂=$\frac{1}{2}$at₂²=$\frac{1}{2}•\frac{eE}{m}（\frac{L}{{v}_{1}}）^{2}$
解得：y₂=$\frac{{L}^{2}}{4x}$
所以偏轉(zhuǎn)位移為y₂=y，電子將從P點(diǎn)射出．
所以原假設(shè)成立，即在電場(chǎng)Ⅰ區(qū)域的AB曲線邊界由靜止釋放的所有電子離開(kāi)MNPQ時(shí)都從P點(diǎn)離開(kāi)  
由以上的分析可知，電子在兩個(gè)電場(chǎng)中被加速，w=eEx+eEy
則從B到P由動(dòng)能定理得   eE（x+y）=E_k-0 
又 y=$\frac{{L}^{2}}{4x}$
所以只有x=y點(diǎn)釋放的電子，離開(kāi)P點(diǎn)時(shí)動(dòng)能最小   
所以x+y=L    即 E_Kmin=eEL
答：
（1）從電場(chǎng)區(qū)域Ⅰ的邊界B點(diǎn)處由靜止釋放電子，電子離開(kāi)MNPQ時(shí)的坐標(biāo)為（-2L，0）；
（2）由電場(chǎng)區(qū)域Ⅰ的AB曲線邊界由靜止釋放電子離開(kāi)P點(diǎn)的最小動(dòng)能eEL．

點(diǎn)評(píng) 本題中電子先加速后偏轉(zhuǎn)，基本方法是動(dòng)能定理和運(yùn)動(dòng)的分解，難點(diǎn)在于數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用求極值和軌跡方程．