Question

3．如圖，在0≤x≤a的區(qū)域有垂直于紙面向里的勻強磁場，磁感應強度的大小為B，在x＞a的區(qū)域有垂直于紙面向外的勻強磁場，磁感應強度的大小也為B，質量為m，電荷量為q（q＞0）的粒子沿x軸從原點O射入磁場．（粒子重力忽略不計）
（1）若粒子以v₀=$\frac{\sqrt{2}•Bqa}{m}$的速度射入磁場，求其軌跡與x軸交點的橫坐標；
（2）為使粒子返回原點O，粒子的入射速度應為多大？

Answer 1

分析 （1）粒子進入磁場時做勻速圓周運動，根據洛倫茲力提供向心力，列式求出軌跡半徑．根據粒子在0＜x≤a中運動半徑求出其對應的圓心角，通過x＞a的區(qū)域后，離開磁場時與x軸垂直，說明圓心在x軸上，根據幾何關系即可求得橫坐標；
（2）根據題干確定粒子的運動軌跡，結合幾何關系求出粒子的半徑，進而確定初速度

解答 解：（1）帶電粒子進入磁場后做勻速圓周運動，設軌跡半徑為R．
根據洛倫茲力提供向心力得 qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
由題，v₀=$\frac{\sqrt{2}•Bqa}{m}$，得 R=$\sqrt{2}$a
帶電粒子的運動軌跡如圖甲所示，O₁、O₂分別為軌跡的圓心，由幾何關系可得θ=45°．
O₁A=O₂A=2a
O₂B=AO=O₁A-R=（2-$\sqrt{2}$）a
則BC=$\sqrt{{O}_{2}{C}^{2}-{O}_{2}{B}^{2}}$=$\sqrt{{R}^{2}-[（2-\sqrt{2}）a]^{2}}$=2$\sqrt{\sqrt{2}-1}$ a
則軌跡與x軸交點橫坐標為：
 x=O₂A+BC=2（1+$\sqrt{\sqrt{2}-1}$）a
（2）粒子的運動軌跡如圖乙所示，設此時軌跡半徑為r，則由幾何關系可得
 r-rcosθ=rcosθ
則cosθ=0.5，即θ=60°
則軌跡半徑r=$\frac{a}{sin60°}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a
而Bqv=m$\frac{{v}^{2}}{r}$ 則v=$\frac{2\sqrt{3}Bqa}{3m}$．
答：
（1）其軌跡與x軸交點的橫坐標為2（1+$\sqrt{\sqrt{2}-1}$）a；
（2）為使粒子返回原點，粒子的入射速度應為$\frac{2\sqrt{3}Bqa}{3m}$．

點評 對于帶電粒子在磁場中的運動問題，關鍵正確畫出粒子運動軌跡，運用幾何知識求相關角度或距離，需要注重提高學生的數形結合思想．