Question

（2013?廣州三模）如圖所示，兩平行金屬板E、F之間電壓為U，兩足夠長的平行邊界MN、PQ區(qū)域內(nèi)，有垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B．一質(zhì)量為m、帶電量為+q的粒子（不計重力），由E板中央處靜止釋放，經(jīng)F板上的小孔射出后，垂直進(jìn)入磁場，且進(jìn)入磁場時與邊界MN成60°角，最終粒子從邊界MN離開磁場．求：
（1）粒子在磁場中做圓周運(yùn)動的半徑r；
（2）兩邊界MN、PQ的最小距離d；
（3）粒子在磁場中運(yùn)動的時間t．

Answer 1

分析：（1）帶電粒子先在電場中加速，后進(jìn)入磁場做勻速圓周運(yùn)動．由動能定理求出加速獲得的速度大�。�粒子離開電場后，垂直進(jìn)入磁場，由洛侖茲力提供向心力，由牛頓第二定律求半徑；
（2）當(dāng)粒子在磁場中的軌跡恰好也PQ相切時，兩邊界MN、PQ的距離最小，畫出粒子的運(yùn)動軌跡，由幾何關(guān)系求最小距離；
（3）求出粒子圓周運(yùn)動的周期，確定出軌跡的圓心角θ，由t=

θ

2π

T求磁場中運(yùn)動的時間．

解答：解：（1）設(shè)粒子離開電場時的速度為v，由動能定理有：
    qU=

1

2

mv2    ①
解得：v=

2qU m

    ②
粒子離開電場后，垂直進(jìn)入磁場，由洛侖茲力提供向心力有：
   qvB=m

v2

r

     ③
聯(lián)立②③解得：r=

1

B

2mU q

    ④
（2）當(dāng)粒子在磁場中的軌跡恰好也PQ相切時，兩邊界MN、PQ的距離最小，所以最終粒子從邊界MN離開磁場，需滿足：
   d≥r+rsin30°    ⑤
聯(lián)立④⑤解得：d≥

3

2B

2mU q

      ⑥
兩邊界MN、PQ的最小距離d為

3

2B

2mU q

（3）粒子在磁場中做圓周運(yùn)動的周期T=

2πr

v

     ⑦
聯(lián)立③⑦解得：T=

2πm

qB

粒子在磁場中運(yùn)動的時間t=

240°

360°

T=

4πm

3qB

  ⑨
答：
（1）粒子在磁場中做圓周運(yùn)動的半徑r是

1

B

2mU q

；
（2）兩邊界MN、PQ的最小距離d是

3

2B

2mU q

；
（3）粒子在磁場中運(yùn)動的時間t是

4πm

3qB

．

點(diǎn)評：本題中帶電粒子在組合場中運(yùn)動的類型，畫出粒子的運(yùn)動軌跡，運(yùn)用幾何知識和牛頓第二定律研究磁場中軌跡問題．