Question

10．如圖所示，某皮帶傳動裝置與水平面夾角為30°，兩輪軸心相距L=2m，A、B分別是傳送帶與兩輪的切點，傳送帶不打滑．現傳送帶沿順時針方向以v=2.5m/s的速度勻速運動，將與小物塊輕輕地放置于A點，小物塊與傳送帶間的動摩擦因數為μ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，g取10m/s²．試求：
（1）小物塊運動至B點的時間；
（2）若傳送帶速度可以任意調節(jié)，當小物塊在A點以v₀=3$\sqrt{6}$m/s的速度沿傳送帶向上運動時，小物塊到達B點的速度范圍．

Answer 1

分析 （1）根據牛頓第二定律和運動學公式分析小物塊的運動情況．先由牛頓第二定律求出小物塊沿傳送帶向下勻加速運動的加速度，由運動學公式求出物塊速度與傳送帶相等時所經過的時間和通過的位移，判斷物塊的速度與傳動帶速度相等以后物體的運動情況，再求解運動時間．
（2）小物塊從A到B一直做勻加速直線運動，到達B點的速度最大；小物塊從A到B一直做勻減速直線運動，到達B點的速度最小，根據位移速度關系求解速度大小，由此確定速度范圍．

解答 解：（1）開始小物塊受到豎直向下的重力、垂直傳送帶向上的支持力和沿傳送帶斜向上的摩擦力作用，做勻加速直線運動，設加速度為a₁，根據牛頓第二定律可得：
μmgcos30°-mgsin30°=ma₁，
代入數據解得：a₁=2.5m/s²，
當小物塊速度等于2.5m/s時，設小物塊對地位移為L₁，用時為t₁，根據勻加速直線運動規(guī)律有：
t₁=$\frac{{v}_{1}}{{a}_{1}}=\frac{2.5}{2.5}s=1s$，
L₁=$\frac{{v}_{1}^{2}}{2{a}_{1}}=\frac{2．{5}^{2}}{2×2.5}m=1.25m$，
由于L₁＜L 且μ＞tan30°，當小物塊速度等于2.5m/s時，小物塊將勻速直線運動至B點，
設用時為t₂，根據勻速直線運動規(guī)律可得：${t}_{2}=\frac{L-{L}_{1}}{v}=0.3s$，
故小物塊由靜止出發(fā)從A到B所用時間為：t=t₁+t₂=1.3s；          
（2）由于傳送帶的速度可以任意調節(jié)，則小物塊從A到B一直做勻加速直線運動，到達B點的速度最大，
根據位移速度關系可得：${v}_{B}^{2}-{v}_{0}^{2}=2{a}_{1}L$，
代入數據解得：v_B=8m/s；
小物塊從A到B一直做勻減速直線運動，到達B點的速度最小，根據牛頓第二定律可得：
μmgcos30°+mgsin30°=ma₂，
代入數據解得：a₂=12.5m/s²，
由運動學公式可得：${v′}_{B}^{2}={v}_{0}^{2}-2{a}_{2}L$，
代入數據解得：v_B′=2m/s；
即物塊到達B點的速度范圍為2m/s≤v_B≤8m/s．
答：（1）小物塊運動至B點的時間為1.3s；
（2）若傳送帶速度可以任意調節(jié)，當小物塊在A點以v₀=3$\sqrt{6}$m/s的速度沿傳送帶向上運動時，小物塊到達B點的速度范圍為2m/s≤v_B≤8m/s．

點評 本題主要是考查了傳送帶問題，解決本題的關鍵理清物塊的運動規(guī)律，結合牛頓第二定律和運動學公式綜合求解．