Question

15．如圖所示，有一光滑、不計(jì)電阻且較長(zhǎng)的“$\prod$“平行金屬導(dǎo)軌，間距L=1m，導(dǎo)軌所在的平面與水平面的傾角為37°，導(dǎo)軌空間內(nèi)存在垂直導(dǎo)軌平面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．現(xiàn)將一質(zhì)量m=0.1kg、電阻R=2Ω的金屬桿水平靠在導(dǎo)軌處，與導(dǎo)軌接觸良好．（g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8）
（1）若磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時(shí)間變化滿足B=2+0.2t（T），金屬桿由距導(dǎo)軌頂部l m處釋放，求至少經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間釋放，會(huì)獲得沿斜面向上的加速度；
（2）若勻強(qiáng)磁場(chǎng)大小為定值，對(duì)金屬桿施加一個(gè)平行于導(dǎo)軌斜面向下的外力F，其大小為產(chǎn)F=v+0.4（N），v為金屬桿運(yùn)動(dòng)的速度，使金屬桿以恒定的加速度a=10m/s²沿導(dǎo)軌向下做勻加速運(yùn)動(dòng)，求勻強(qiáng)磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小；
（3）若磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時(shí)間變化滿足B=$\frac{2}{{0.1+0.1{t^2}}}$（T），t=0時(shí)刻金屬桿從離導(dǎo)軌頂端S₀=1m處?kù)o止釋放，同時(shí)對(duì)金屬桿施加一個(gè)外力，使金屬桿沿導(dǎo)軌下滑且沒(méi)有感應(yīng)電流產(chǎn)生，求金屬桿下滑5m所用的時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）金屬桿有沿著斜面向上的加速度時(shí)，安培力等于重力沿斜面的分力，由安培力表達(dá)式F=BIL，結(jié)合B隨t的變化關(guān)系，可以解得時(shí)間t；
（2）金屬桿收到重力和安培力的作用而做勻加速運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律，結(jié)合安培力表達(dá)式，可解得磁感應(yīng)強(qiáng)度B．
（3）金屬桿沿導(dǎo)軌下滑且沒(méi)有感應(yīng)電流產(chǎn)生，說(shuō)明磁通量不變，由此可以表示初末磁通量相等，解得金屬桿下滑5m所用的時(shí)間．

解答 解：（1）設(shè)金屬桿長(zhǎng)為L(zhǎng)，距離導(dǎo)軌頂部也為L(zhǎng)，經(jīng)過(guò)ts后，金屬桿有沿著斜面向上的加速度，此時(shí)安培力等于重力沿斜面的分力，則：
F_A=mgsinθ，
又：
${F}_{A}=BIL=B\frac{E}{R}L$，
其中：E=$\frac{△B}{△t}$L²=0.2V，
所以：
$（2+0.2t）\frac{E}{R}L=mgsinθ$，
解得：
t=20s．
（2）對(duì)金屬桿由牛頓第二定律：
mgsinθ+F-F_A=ma，
其中：
${F}_{A}=BIL=\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$，
解得：
$mgsinθ+F-\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}=ma$，
帶入數(shù)據(jù)解得：
$1+（1-\frac{{B}^{2}}{2}）v=0.1×10$，
因?yàn)槭莿蚣铀龠\(yùn)動(dòng)，加速度為定值，則：
$（1-\frac{{B}^{2}}{2}）=0$，
解得：
$B=\sqrt{2}T$，
（3）設(shè)t=0時(shí)刻金屬桿距離頂端為S₀，由金屬桿與導(dǎo)軌組成的閉合電路中，磁通量保持不變，經(jīng)過(guò)ts的位移為S，則：
B₁LS₀=B₂L（S+S₀），
帶入數(shù)據(jù)：
$20×1×1=\frac{2}{0.1+0.1{t}^{2}}×1×（1+S）$，
解得：
S=t²，
金屬桿做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，S=5m，
解得：
$t=\sqrt{5}s$．
答：（1）若磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時(shí)間變化滿足B=2+0.2t（T），金屬桿由距導(dǎo)軌頂部l m處釋放，至少經(jīng)過(guò)20s釋放，會(huì)獲得沿斜面向上的加速度；
（2）若勻強(qiáng)磁場(chǎng)大小為定值，對(duì)金屬桿施加一個(gè)平行于導(dǎo)軌斜面向下的外力F，其大小為產(chǎn)F=v+0.4（N），v為金屬桿運(yùn)動(dòng)的速度，使金屬桿以恒定的加速度a=10m/s²沿導(dǎo)軌向下做勻加速運(yùn)動(dòng)，勻強(qiáng)磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小$\sqrt{2}T$；
（3）若磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時(shí)間變化滿足B=$\frac{2}{{0.1+0.1{t^2}}}$（T），t=0時(shí)刻金屬桿從離導(dǎo)軌頂端S₀=1m處?kù)o止釋放，同時(shí)對(duì)金屬桿施加一個(gè)外力，使金屬桿沿導(dǎo)軌下滑且沒(méi)有感應(yīng)電流產(chǎn)生，求金屬桿下滑5m所用的時(shí)間$\sqrt{5}s$．

點(diǎn)評(píng) 該題的關(guān)鍵是第三問(wèn)，要能正確解讀“金屬桿沿導(dǎo)軌下滑且沒(méi)有感應(yīng)電流產(chǎn)生”的含義，只有這樣才能順利解決該題，其余方法均不行．