Question

2．甲，乙兩顆人造衛(wèi)星在同一平面內(nèi)沿同一方向做勻速圓周運(yùn)動，甲衛(wèi)星距離地面的高度是地球半徑的$\frac{1}{2}$，乙衛(wèi)星距離地面的高度是地球半徑的5倍．某時刻兩衛(wèi)星相距最近，問：經(jīng)過多少個乙衛(wèi)星做圓周運(yùn)動的周期，兩衛(wèi)星第一次相距最遠(yuǎn)？

Answer 1

分析 衛(wèi)星做速圓周運(yùn)動，根據(jù)開普勒第三定律--周期定律可求周期之比．某時刻兩衛(wèi)星正好同時通過地面上同一點(diǎn)的正上方，當(dāng)兩顆衛(wèi)星轉(zhuǎn)動角度相差π時，相距最遠(yuǎn)．

解答 解：（1）由題甲乙兩衛(wèi)星的軌道分別為 r₁=$\frac{3R}{2}$，r₂=6R
由開普勒行星運(yùn)動規(guī)律$\frac{{R}^{3}}{{T}^{2}}=k$，k相同，則得$\frac{{r}_{1}^{3}}{{T}_{1}^{2}}=\frac{{r}_{2}^{3}}{{T}_{2}^{2}}$
所以$\frac{{T}_{1}}{{T}_{2}}$=$\frac{{r}_{1}^{\frac{3}{2}}}{{r}_{2}^{\frac{3}{2}}}$=$\frac{1}{8}$
設(shè)經(jīng)過t時間 二者第一次相距最遠(yuǎn)，若兩衛(wèi)星同向運(yùn)轉(zhuǎn)，此時甲比乙多轉(zhuǎn)π角度，
則  $\frac{2π}{{T}_{1}}t-\frac{2π}{{T}_{2}}t=π$
這段時間乙經(jīng)過的周期數(shù)為n=$\frac{t}{{T}_{2}}$
解得，n=$\frac{1}{14}$
答：經(jīng)過$\frac{1}{14}$個乙衛(wèi)星做圓周運(yùn)動的周期，兩衛(wèi)星第一次相距最遠(yuǎn)．

點(diǎn)評 本題既可應(yīng)用萬有引力提供向心力求解，也可應(yīng)用開普勒行星運(yùn)動定律求解，以后者較為方便，兩衛(wèi)星何時相距最遠(yuǎn)的求解，要分同向運(yùn)轉(zhuǎn)與反向運(yùn)轉(zhuǎn)兩種情形，用到的數(shù)學(xué)變換相對較多，增加了本題難度．