Question

14．如圖所示，兩平行金屬導(dǎo)軌間距為d，一端跨接一最大阻止為4r的滑動(dòng)變阻器，一有界的勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向垂直于軌道所在平面，一根電阻為r的直金屬棒AB與軌道成60°放置，現(xiàn)將金屬棒以平行于導(dǎo)軌的恒定速度v₁沿金屬軌道上滑行，當(dāng)開關(guān)K打開時(shí)，發(fā)現(xiàn)兩金屬導(dǎo)軌中間且處于磁場(chǎng)外，有一個(gè)質(zhì)量為m、帶+q的微粒正好處于靜止?fàn)顟B(tài)，重力加速度為g．
（1）求金屬棒運(yùn)動(dòng)的速度v₁的大小與方向．
（2）若把開關(guān)K閉合并調(diào)節(jié)滑動(dòng)變阻器，當(dāng)它的有效電阻為3r時(shí)，給此粒子一水平向右的速度v₀，則該粒子達(dá)到金屬導(dǎo)軌時(shí)速度v₂的大小與方向？
（3）若把金屬棒的速度調(diào)整為原來的$\frac{3}{2}$倍，開關(guān)K閉合并把滑動(dòng)變阻器的滑片滑到中間位置；在磁場(chǎng)中的C點(diǎn)（圖中未畫出）可向各個(gè)方向發(fā)射質(zhì)量為m、帶電量為+q、速度為v₀的許多微粒，C點(diǎn)距下金屬導(dǎo)軌間距為$\frac{1}{2}$d，則要使有粒子能打到下金屬導(dǎo)軌上，則v₀滿足的條件及打到下金屬導(dǎo)軌的最短時(shí)間為多少．

Answer 1

分析 （1）由微粒受力分析，得電場(chǎng)強(qiáng)度，結(jié)合$E=\frac{U}s1uhzgy$，求得電壓，再由電磁感應(yīng)定律求得速度，結(jié)合右手定則判定運(yùn)動(dòng)方向．
（2）閉合k后，根據(jù)閉合電路的歐姆定律，求得導(dǎo)軌之間的電場(chǎng)強(qiáng)度，由牛頓第二定律確定粒子受力情況，分析運(yùn)動(dòng)形式，結(jié)合規(guī)律求解，
（3）由電磁感應(yīng)定律求得電動(dòng)勢(shì)，由$E=\frac{U}1wxk6xz$得電場(chǎng)強(qiáng)度，再對(duì)粒子受力分析，確定粒子的運(yùn)動(dòng)形式，結(jié)合相應(yīng)規(guī)律求解．

解答 解：（1）對(duì)微粒受力分析，得：mg=Eq，解得：$E=\frac{mg}{q}$，電場(chǎng)方向向上，
根據(jù)電勢(shì)差和電場(chǎng)強(qiáng)度之間的關(guān)系，$E=\frac{U}lsfcex5$，得：$U=\frac{mgd}{q}$，
由電磁感應(yīng)定律得：U=BLv₁sin60°=$\frac{mgd}{q}$，解得：v₁=$\frac{mg}{Bq}$
電場(chǎng)方向向上，金屬導(dǎo)軌上軌帶負(fù)電，由右手定則得：金屬棒AB向左運(yùn)動(dòng)．
（2）由電磁感應(yīng)定律得：U=BLv₁sin60°=Bdv₁，
若把開關(guān)K閉合并調(diào)節(jié)滑動(dòng)變阻器，當(dāng)它的有效電阻為3r時(shí)，
根據(jù)閉合電路的歐姆定律，得兩軌之間的電壓：${U}_{2}=\frac{U}{3r+r}×3r=\frac{3}{4}U$，
根據(jù)電勢(shì)差和電場(chǎng)強(qiáng)度之間的關(guān)系，$E=\frac{{U}_{2}}6cucewt$=$\frac{3U}{4d}$，則此時(shí)電場(chǎng)力：F_電=$Eq=\frac{3Uq}{4d}$，而重力：$mg=\frac{Uq}acpckho$，
根據(jù)牛頓第二定律：F_合=mg-F_電=$\frac{Uq}{4d}$=ma，解得：a=$\frac{Uq}{4md}$，方向向下，故粒子做類平拋運(yùn)動(dòng)，
水平方向做勻速運(yùn)動(dòng)，v_x=v₀，豎直方向做勻加速運(yùn)動(dòng)，由：${v}_{y}^{2}=2ad$，即：${v}_{y}^{2}=2a\fraca6sq5rj{2}$=$\frac{Uq}{4m}=\frac{gd}{4}$，
到達(dá)下軌道時(shí)的速度：${v}_{合}=\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}=\sqrt{{v}_{0}^{2}+\frac{Uq}{4m}}$=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+\frac{gd}{4}}$，與水平方向夾角：$tgθ=\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$=$\frac{\sqrt{gd}}{2{v}_{0}}$
（3）若把金屬棒的速度調(diào)整為原來的$\frac{3}{2}$倍，由電磁感應(yīng)定律得：U=BL$\frac{3}{2}$v₁sin60°=$\frac{3}{2}$Bdv₁，
根據(jù)閉合電路的歐姆定律，得兩軌之間的電壓：${U}_{3}=\frac{U}{2r+r}×2r$=Bdv₁，
根據(jù)電勢(shì)差和電場(chǎng)強(qiáng)度之間的關(guān)系，$E=\frac{{U}_{3}}pbecyq1=B{v}_{1}$，則此時(shí)電場(chǎng)力：F_電=Eq=Bdv₁，由（1）中知：mg=Bdv₁，即粒子所受重力和電場(chǎng)力相等，合外力F_合=Bqv₀，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，如圖：，
根據(jù)：$r=\frac{m{v}_{0}}{Bq}$，由幾何關(guān)系；2r=d，解得：r=$\frac6ebyliv{2}$，即：$\fracviq1b5u{2}=\frac{m{v}_{0}}{Bq}$，解得：${v}_{0}=\frac{Bqd}{2m}$，
由題意可知，當(dāng)粒子打在下極板上的A點(diǎn)在C點(diǎn)正下方時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短，由幾何關(guān)系，OA=AC=OC=$\fraccobogoq{2}$，解得：θ=∠AOC=60°，而周期：$T=\frac{2πm}{Bq}$，最短時(shí)間：$t=\frac{θ}{2π}T=\frac{πm}{3Bq}$．
答：（1）求金屬棒運(yùn)動(dòng)的速度v₁的大小為$\frac{mg}{Bq}$，方向金屬棒AB向左運(yùn)動(dòng)．
（2）該粒子達(dá)到金屬導(dǎo)軌時(shí)速度v₂的大小為$\sqrt{{v}_{0}^{2}+\frac{gd}{4}}$，與水平方向夾角：tgθ=$\frac{\sqrt{gd}}{2{v}_{0}}$
（3）要使有粒子能打到下金屬導(dǎo)軌上，則v₀≥$\frac{Bqd}{2m}$，打到下金屬導(dǎo)軌的最短時(shí)間為$\frac{πm}{3Bq}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了電磁感應(yīng)和電場(chǎng)強(qiáng)度，及粒子在復(fù)合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的綜合題，難度較大，特別是第三問中最短時(shí)間計(jì)算時(shí)，軌跡的確定是重點(diǎn)也是難點(diǎn)．