Question

2．如圖甲所示的陀螺可在圓軌道外側(cè)旋轉(zhuǎn)而不脫落，好像軌道對(duì)它施加了魔法一樣，被稱為“魔力陀螺”，它可等效為圖乙所示模型：豎直固定的磁性圓軌道半徑為R，質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)沿軌道外側(cè)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，A、B兩點(diǎn)分別為軌道的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)．質(zhì)點(diǎn)受軌道的磁性引力始終指向圓心O且大小恒為F，不計(jì)摩擦和空氣阻力，重力加速度大小為g．
（1）若質(zhì)點(diǎn)在A點(diǎn)的速度為$\sqrt{gR}$，求質(zhì)點(diǎn)在該點(diǎn)對(duì)軌道的彈力；
（2）若磁性引力大小F可變，質(zhì)點(diǎn)仍做完整圓周運(yùn)動(dòng)，求F的最小值．

Answer 1

分析 （1）在A點(diǎn)，由合力提供向心力，由牛頓第二定律求出軌道對(duì)質(zhì)點(diǎn)的彈力，再由牛頓第三定律得到質(zhì)點(diǎn)對(duì)軌道的彈力．
（2）若磁性引力大小F可變，質(zhì)點(diǎn)仍做完整圓周運(yùn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)在B點(diǎn)不脫離軌道即可，當(dāng)v_A=0，到達(dá)B點(diǎn)的速度最小，機(jī)械能守恒定律與牛頓第二定律求解．

解答 解：（1）設(shè)軌道在A點(diǎn)對(duì)質(zhì)點(diǎn)向上的彈力大小為F_N
F+mg-F_N=m$\frac{v2}{R}$
代入數(shù)據(jù)，得：F_N=F方向豎直向上
由牛頓第三定律得：質(zhì)點(diǎn)在A點(diǎn)對(duì)軌道的彈力大小為F，方向豎直向下
（2）質(zhì)點(diǎn)在B點(diǎn)不脫軌即可．當(dāng)v_A=0時(shí)，到達(dá)B處速度最�。�
mg•2R=$\frac{1}{2}$mv_B²-0
F_B-mg-F_N=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
所以，F(xiàn)_B=5mg+F_N
當(dāng)F_N=0故F_min=5mg
答：（1）若質(zhì)點(diǎn)在A點(diǎn)的速度為$\sqrt{gR}$，質(zhì)點(diǎn)在該點(diǎn)對(duì)軌道的彈力為F，方向豎直向下；
（2）若磁性引力大小F可變，質(zhì)點(diǎn)仍做完整圓周運(yùn)動(dòng)，磁性引力最小為5mg，

點(diǎn)評(píng) 該題屬于結(jié)合機(jī)械能守恒定律考查豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)的情況，在解答的過(guò)程中正確分析得出小球經(jīng)過(guò)最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的條件是解答的關(guān)鍵，正確寫出向心力的表達(dá)式是解答的基礎(chǔ)．