Question

4．如圖所示，在xOy平面內(nèi)，第一象限中有勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)大小為E，方向沿y軸正方向．在x軸的下方有勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直紙面向里．今有一個(gè)質(zhì)量為m、電荷量為q的帶負(fù)電的粒子（不計(jì)粒子的重力和其他阻力），從y軸上的P點(diǎn)以初速度v₀垂直于電場(chǎng)方向進(jìn)入電場(chǎng)．經(jīng)電場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后，沿著與x軸正方向成30°角的方向進(jìn)入磁場(chǎng)．
（1）求P點(diǎn)離坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離h；
（2）求粒子從P點(diǎn)出發(fā)到粒子第一次離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)所用的時(shí)間；
（3）其他條件不改變，只改變磁感應(yīng)強(qiáng)度，當(dāng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B取某一合適的數(shù)值，粒子離開(kāi)磁場(chǎng)后能否返回到原出發(fā)點(diǎn)P，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）粒子經(jīng)電場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后，沿著與x軸正方向成30°進(jìn)入磁場(chǎng)，根據(jù)速度的方向結(jié)合平行四邊形定則求出速度的大小，通過(guò)動(dòng)能定理求出P點(diǎn)離坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離h．
（2）粒子在電場(chǎng)中做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，結(jié)合在電場(chǎng)中豎直方向上的分速度求出在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，根據(jù)幾何關(guān)系求出在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的圓心角，結(jié)合周期公式求出粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，從而得出粒子從P點(diǎn)出發(fā)到粒子第一次離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)所用的時(shí)間．
（3）粒子進(jìn)磁場(chǎng)和出磁場(chǎng)的速度方向與x軸的夾角相等，磁感應(yīng)強(qiáng)度變化，軌道半徑隨著變化，出射點(diǎn)的位置隨著變化，出磁場(chǎng)后做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，可以返回出發(fā)點(diǎn)P．

解答 解：（1）帶電在電場(chǎng)中做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，由速度分解可得：
粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)豎直分速度 v_y=v₀tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}{v}_{0}$
速度為 v=$\frac{{v}_{0}}{cos30°}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$v₀
粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)過(guò)程，根據(jù)動(dòng)能定理得：qEh=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$-$\frac{1}{2}$mv₀²
聯(lián)立解得：h=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{6qE}$．
（2）在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間 t₁=$\frac{{v}_{y}}{a}$
加速度 a=$\frac{qE}{m}$
解得 t₁=$\frac{\sqrt{3}m{v}_{0}}{3qE}$
在磁場(chǎng)中運(yùn)行的時(shí)間，由幾何關(guān)系知：t₂=$\frac{300°}{360°}$T=$\frac{5}{6}$T
而周期 T=$\frac{2πm}{qB}$
則t₂=$\frac{5πm}{3qB}$
所以共用時(shí)間 t=t₁+t₂=$\frac{\sqrt{3}m{v}_{0}}{3qE}$+$\frac{5πm}{3qB}$．
（3）能夠返回到出發(fā)點(diǎn)P，只要B連續(xù)變化，則圓的半徑就連續(xù)變化，由幾何關(guān)系知，粒子在x軸上離開(kāi)磁場(chǎng)的位置就可以連續(xù)變化，在第三象限沒(méi)有電場(chǎng)和磁場(chǎng)，粒子在該象限做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，每次運(yùn)動(dòng)方向都與x軸正向成30度角，當(dāng)B取某一合適數(shù)值時(shí)，粒子能夠回到出發(fā)點(diǎn)．
答：
（1）P點(diǎn)離坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離h為$\frac{m{v}_{0}^{2}}{6qE}$．
（2）粒子從P點(diǎn)出發(fā)到粒子第一次離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)所用的時(shí)間為$\frac{\sqrt{3}m{v}_{0}}{3qE}$+$\frac{5πm}{3qB}$．
（3）粒子能夠回到出發(fā)點(diǎn)P．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了帶電粒子在電場(chǎng)中和磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，知道粒子在電場(chǎng)中做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)，結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式靈活求解．