Question

如圖所示，圓管構成的半圓形豎直軌道固定在水平地面上，軌道半徑為R，MN為直徑且與水平面垂直，直徑略小于圓管內徑的質量為m的小球A以某一初速度沖進軌道，到達半圓軌道最高點M時與靜止于該處的質量與A相同的小球B發(fā)生碰撞，碰后兩球粘在一起飛出軌道，落地點距N為2R．重力加速度為g，忽略圓管內徑，空氣阻力及各處摩擦均不計，求：
（1）粘合后的兩球從飛出軌道到落地的時間t；
（2）小球A沖進軌道時在N點對軌道的壓力大小和方向．

Answer 1

分析：（1）碰后兩球粘在一起飛出軌道，做平拋運動，根據高度，運用h=

1

2

gt2求出兩球運動的時間．
（2）根據水平方向上的勻速直線運動求出平拋運動的初速度，根據動量守恒定律求出A球與B球碰撞前的速度，再根據機械能守恒定律求出N點的速度，最后根據牛頓第二定律，沿半徑方向上的合力提供向心力，求出軌道對球的支持力，從而得出球對軌道的壓力．

解答：解：（1 ）粘合后的兩球飛出軌道后做平拋運動，豎直方向分運動為自由落體運動，有
2R=

1

2

gt2①
解得  t=2

R g

   ②
故粘合后的兩球從飛出軌道到落地的時間t=2

R g

．
（2）設球A的質量為m，碰撞前速度大小為v₁，把球A沖進軌道最低點時的重力勢能定為0，由機械能守恒定律知

1

2

mv2=

1

2

mv12+2mgR ③
設碰撞后粘合在一起的兩球速度大小為v₂，由動量守恒定律知 mv₁=2mv₂④
飛出軌道后做平拋運動，水平方向分運動為勻速直線運動，有 2R=v₂t⑤
綜合②③④⑤式得 v=2

2gR

⑥
由F-mg=m

v2

R

，得F=9mg．
由牛頓第三定律得：小球對軌道的壓力大小F′=9mg，方向豎直向下．     ⑦
故小球A沖進軌道時在N點對軌道的壓力大小為9mg，方向豎直向下．

點評：本題是平拋運動、圓周運動的綜合題，綜合運用了機械能守恒定律、動量守恒定律以及牛頓第二定律，關鍵運用這些規(guī)律解題時要確定好研究的過程．