Question

9．如圖所示，圓形區(qū)域內(nèi)有垂直紙面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)B，A為磁場(chǎng)邊界上的一點(diǎn)．有大量完全相同的帶電粒子沿紙面內(nèi)向各個(gè)方向以相同的速率v通過(guò)A點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)，最后這些粒子都從圓弧AB上射出磁場(chǎng)區(qū)域，AB圓弧的弧長(zhǎng)是圓O周長(zhǎng)的$\frac{1}{3}$，不計(jì)粒子之間的相互作用，粒子的質(zhì)量為m，電量為q．求：
（1）圓形磁場(chǎng)區(qū)域的半徑R；
（2）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最大時(shí)間；
（3）用斜線描出粒子所能到達(dá)的圓形磁場(chǎng)區(qū)域內(nèi)的面積；（需用尺規(guī)作圖）
（4）若把磁場(chǎng)撤去，加平行于紙面的電場(chǎng)E，發(fā)現(xiàn)所有從A點(diǎn)射入的粒子，從B點(diǎn)離開(kāi)時(shí)動(dòng)能最大，求最大動(dòng)能．

Answer 1

分析 （1）帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑不變，隨入射速度方向的變化，運(yùn)動(dòng)軌跡的位置發(fā)生改變，覆蓋AB圓弧的運(yùn)動(dòng)軌跡為2，根據(jù)幾何關(guān)系可求圓形磁場(chǎng)區(qū)域的半徑R；
（2）帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑不變，速率不變，弧長(zhǎng)越長(zhǎng)，時(shí)間越大，所以粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最大時(shí)間為圖一中軌跡1所對(duì)應(yīng)的時(shí)間；
（3）帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑不變，隨入射速度方向的變化，運(yùn)動(dòng)軌跡的位置發(fā)生改變，粒子所能到達(dá)的面積如圖二中陰影部分；
（4）電場(chǎng)線的方向沿AB方向時(shí)，電場(chǎng)力做功最多，末動(dòng)能最大，依據(jù)動(dòng)能定理，即可求解．

解答 解：（1）當(dāng)軌道半徑小于或等于磁場(chǎng)區(qū)半徑時(shí)，粒子射出圓形磁場(chǎng)的點(diǎn)離入射點(diǎn)最遠(yuǎn)距離為軌跡直徑．如圖一所示，當(dāng)粒子從$\frac{1}{3}$圓周射出磁場(chǎng)時(shí)，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道直徑為AB，粒子都從圓弧AB之間射出，
根據(jù)幾何關(guān)系軌道半徑：r₁=Rcos30°，r₁=$\frac{\sqrt{3}}{2}$R  ①
粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{{r}_{1}}$，r₁=$\frac{mv}{qB}$    ②
有①②解得：R=$\frac{2\sqrt{3}mv}{3qB}$
（2）帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑不變，速率不變，弧長(zhǎng)越長(zhǎng)，時(shí)間越大，所以粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最大時(shí)間為圖一中軌跡1所對(duì)應(yīng)的時(shí)間最大
t=T=$\frac{2π{r}_{1}}{v}$=$\frac{2πm}{qB}$
（3）以A點(diǎn)為圓心AB為半徑畫(huà)圓弧交圓弧1與D點(diǎn)交圓弧2與B點(diǎn)，粒子所能到達(dá)的圓形磁場(chǎng)區(qū)域內(nèi)的面積為圖中陰影部分的面積；
（4）從B點(diǎn)離開(kāi)時(shí)粒子動(dòng)能最大，可見(jiàn)粒子從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)電場(chǎng)力做正功最多，那么B點(diǎn)所在的等勢(shì)線是圓形區(qū)域在B點(diǎn)的切線，而電場(chǎng)線與等勢(shì)線垂直，則當(dāng)粒子帶正電時(shí)，電場(chǎng)線沿OB方向，當(dāng)粒子帶負(fù)電時(shí)，電場(chǎng)線沿BO方向，但并不影響計(jì)算結(jié)果；
因此從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)，電場(chǎng)力做功W=qE（R+Rcos60°）=$\frac{3}{2}$qER，
由動(dòng)能定理，最大動(dòng)能E_km=$\frac{1}{2}$mv²+$\frac{3}{2}$qER=$\frac{1}{2}$mv²+$\frac{\sqrt{3}mvE}{B}$
答：（1）圓形磁場(chǎng)區(qū)域的半徑R=$\frac{2\sqrt{3}mv}{3qB}$；
（2）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最大時(shí)間為$\frac{2πm}{qB}$；
（3）粒子所能到達(dá)的圓形磁場(chǎng)區(qū)域內(nèi)的面積見(jiàn)圖二；
（4）粒子從B點(diǎn)離開(kāi)時(shí)最大動(dòng)能為$\frac{1}{2}$mv²+$\frac{\sqrt{3}mvE}{B}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題，要求同學(xué)們能正確計(jì)算粒子運(yùn)動(dòng)半徑，再通過(guò)入射速度方向的變化分析粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的變化，運(yùn)用所學(xué)的幾何知識(shí)可解決前三個(gè)問(wèn)題，最后一問(wèn)為動(dòng)能定理的應(yīng)用，總體上難度適中．