Question

5．如圖所示，M、N為兩塊帶等量異種電荷的平行金屬板，兩板間電壓可取從零到某一最大值之間的各種數(shù)值．靜止的帶電粒子帶電荷量為+q，質(zhì)量為m（不計(jì)重力），從點(diǎn)P經(jīng)電場(chǎng)加速后，從小孔Q進(jìn)入N板右側(cè)的勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于紙面向外，CD為磁場(chǎng)邊界上的一絕緣板，它與N板的夾角為θ=30°，孔Q到板的下端C的距離為L(zhǎng)，當(dāng)M、N兩板間電壓取最大值時(shí)，粒子恰垂直打在CD板上，則下列說(shuō)法正確的是（　�。�

• A． 兩板間電壓的最大值U_m=$\frac{{q{B^2}{L^2}}}{2m}$
• B． CD板上可能被粒子打中區(qū)域的長(zhǎng)度s=$\frac{2}{3}$L
• C． 粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間t_m=$\frac{πm}{qB}$
• D． 能打到N板上的粒子的最大動(dòng)能為$\frac{{{q^2}{B^2}{L^2}}}{18m}$

Answer 1

分析 當(dāng)M、N兩板間電壓取最大值時(shí)，粒子恰垂直打在CD板上，根據(jù)洛倫茲力提供向心力結(jié)合幾何關(guān)系，再利用動(dòng)能定理即可求出加速場(chǎng)的電壓的最大值U_m；找出粒子打中CD的兩端的臨界情況，利用幾何關(guān)系，即可求出CD板上可能被粒子打中區(qū)域的長(zhǎng)度s；利用粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期公式，結(jié)合粒子轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角，即可求出粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間t_m；找出粒子能打到N上半徑最大的情況，即：粒子軌跡恰好與CD相切，利用動(dòng)能表達(dá)式以及幾何關(guān)系，再結(jié)合磁場(chǎng)中洛倫茲力提供向心力，即可求出能打到N板上的粒子的最大動(dòng)能．

解答 解：畫(huà)出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的示意圖，如圖所示，

A、當(dāng)M、N兩板間電壓取最大值時(shí)，粒子恰垂直打在CD板上，可知粒子半徑r=L，
加速場(chǎng)根據(jù)動(dòng)能定理：qU_m=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
根據(jù)洛倫茲力提供向心力可得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，
聯(lián)立可得：U_m=$\frac{{q{B^2}{L^2}}}{2m}$，故A正確；
B、設(shè)粒子軌跡與CD相切于H點(diǎn)，此時(shí)粒子半徑為r′，粒子軌跡垂直打在CD邊上的G點(diǎn)，
則GH間距離即為粒子打中區(qū)域的長(zhǎng)度s，根據(jù)幾何關(guān)系：QC=L=r′+$\frac{r′}{sinθ}$：
可得：r′=$\frac{L}{3}$，
根據(jù)幾何關(guān)系可得粒子打中區(qū)域的長(zhǎng)度：s=r-$\frac{r′}{tanθ}$=（1-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）L，故B錯(cuò)誤；
C、粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期為：T=$\frac{2πm}{qB}$
粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最大圓心角：θ=180°，
所以粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間為：t=$\frac{T}{2}$=$\frac{πm}{qB}$，故C正確；
D、當(dāng)粒子在磁場(chǎng)的軌跡與CD邊相切時(shí)，即粒子半徑r′=$\frac{L}{3}$時(shí)，打到N板上的粒子的動(dòng)能最大，
最大動(dòng)能：E_km=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
根據(jù)洛倫茲力提供向心力可得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r′}$，
聯(lián)立可得能打到N板上的粒子的最大動(dòng)能為：E_km=$\frac{{{q^2}{B^2}{L^2}}}{18m}$，故D正確．
故選：ACD．

點(diǎn)評(píng) 本題考查帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，解題關(guān)鍵是要畫(huà)出粒子軌跡過(guò)程圖，分好過(guò)程，針對(duì)每個(gè)過(guò)程的受力特點(diǎn)和運(yùn)動(dòng)形式選擇合適的規(guī)律解決問(wèn)題，對(duì)數(shù)學(xué)幾何能力有一定的要求，整體難度不大．