Question

3．已知物體從地球上的逃逸速度（第二宇宙速度）v=$\sqrt{\frac{2GM}{R}}$，其中G、M、R分別是萬有引力常量、地球的質(zhì)量和半徑．已知G=6.67×10^-1，光速c=2.9979×10⁸ m/s．（計(jì)算結(jié)果保留一位有效數(shù)據(jù)）
（1）逃逸速度大于真空中光速的天體叫做黑洞．設(shè)某黑洞的質(zhì)量等于太陽的質(zhì)量M=1.98×10³⁰kg，求它的可能最大半徑．（計(jì)算結(jié)果保留一位有效數(shù)據(jù)）
（2）在目前天文觀測范圍內(nèi)，物質(zhì)的平均密度為10^-27kg/m³，如果認(rèn)為我們的宇宙是這樣一個均勻大球體，其密度使得它們的逃逸速度大于光在真空中速度c，因此任何物體都不能脫離宇宙，問宇宙的半徑至少多大？
（計(jì)算結(jié)果保留兩位有效數(shù)據(jù)）

Answer 1

分析 （1）任何物體（包括光子）都不能脫離黑洞的束縛，那么黑洞表面脫離的速度應(yīng)大于光速，根據(jù)c≤$\sqrt{\frac{2GM}{R}}$，即可求解；
（2）根據(jù)質(zhì)量與密度的關(guān)系先求出質(zhì)量，根據(jù)（1）的分析即可求解．

解答 解：（1）由題目所提供的信息可知，任何天體均存在其所對應(yīng)的逃逸速度v₂=$\sqrt{\frac{2GM}{R}}$，
其中M、R為天體的質(zhì)量和半徑．
對于黑洞模型來說，其逃逸速度大于真空中的光速，
即v₂＞c，
所以?R＜$\frac{2GM}{{C}^{2}}$=$\frac{2×6.7×1{0}^{-11}×1.98×1{0}^{30}}{（2.9979×1{0}^{8}）^{2}}$m=2.94×10³ m．
故最大半徑為2.94×10³ m．
（2）M=ρ•$\frac{4}{3}$πR³，其中R為宇宙的半徑，ρ為宇宙的密度，
則宇宙所對應(yīng)的逃逸速度為v₂=$\sqrt{\frac{2GM}{R}}$，
由于宇宙密度使得其逃逸速度大于光速c，
即v₂＞c，
則R＞$\sqrt{\frac{3{C}^{2}}{8πρG}}$=4.01×10²⁶ m，
合4.24×10¹⁰光年．
即宇宙的半徑至少為4.24×10¹⁰光年．
答：（1）它的可能最大半徑為2.94×10³ m．
（2）宇宙的半徑至少應(yīng)為4.24×10¹⁰光年．

點(diǎn)評 本題考查了萬有引力定律定律及圓周運(yùn)動向心力公式的直接應(yīng)用，要注意任何物體（包括光子）都不能脫離黑洞的束縛，那么黑洞表面脫離的速度應(yīng)大于光速．