Question

9．如圖所示，穿過光滑水平平面中央小孔O的細(xì)線與平面上質(zhì)量為m的小球P相連，手拉細(xì)線的另一端，讓小球在水平面內(nèi)以角速度ω₁沿半徑為a的圓周做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．所有摩擦均不考慮．若突然松開手中的細(xì)線，經(jīng)時(shí)間t再握緊細(xì)線，隨后小球沿半徑為b的圓周做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，t等于多大？這時(shí)的角速度ω₂為多大？

Answer 1

分析 當(dāng)突然松開細(xì)線時(shí)，小球沿切線方向勻速飛出．當(dāng)再次握住時(shí)，小球又做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．由半徑a與ω₁可求出飛出之前的速度．再由半徑b，結(jié)合運(yùn)動(dòng)的分解可求出小球以半徑b做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的線速度．從而可求出此時(shí)的角速度．由于是勻速飛出，所以利用直角三角形，由長度a、b可求出時(shí)間．

解答 解：松手后小球由半徑為a圓周運(yùn)動(dòng)到半徑為b的圓周上，其間做的是勻速直線運(yùn)動(dòng)
如圖所示：

則時(shí)間 t=$\frac{s}{{v}_{a}}$
其中v_a=ω₁a，s=$\sqrt{^{2}-{a}^{2}}$
解得 t=$\frac{\sqrt{^{2}-{a}^{2}}}{{ω}_{1}a}$
小球勻速直線運(yùn)動(dòng)速度要在瞬間變到沿圓周切向，實(shí)際的運(yùn)動(dòng)可看做沿繩和垂直繩的兩個(gè)運(yùn)動(dòng)同時(shí)進(jìn)行，
有v₂=v_asinθ=ω₁a•$\frac{a}$，
即bω₂=ω₁a•$\frac{a}$，得：ω₂=$\frac{{a}^{2}}{^{2}}$ω₁．
答：t等于$\frac{\sqrt{^{2}-{a}^{2}}}{{ω}_{1}a}$，這時(shí)的角速度ω₂為$\frac{{a}^{2}}{^{2}}$ω₁．

點(diǎn)評(píng) 搞清小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)所需要的向心力來源，同時(shí)本題巧妙運(yùn)用三角函數(shù)求出松手前后的線速度關(guān)系．值得注意是松手后小球做的是勻速直線運(yùn)動(dòng)．