Question

16．如圖所示，在水平光滑桌面上有一光滑小孔O，一條倔強(qiáng)系數(shù)為k的輕而細(xì)的彈性繩穿過小孔O，繩的另一端固定于位于小孔O的正下方A點(diǎn)，另一端系一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)．彈性繩自然長度等于0A，現(xiàn)將質(zhì)點(diǎn)沿桌面拉至B處（設(shè)OB=1），并將質(zhì)點(diǎn)沿垂直于OB方向給一水平速度v₀．試求：

（1）質(zhì)點(diǎn)繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)過90°至C點(diǎn)所需的時間；
（2）質(zhì)點(diǎn)到達(dá)C點(diǎn)時的速度及C點(diǎn)至O點(diǎn)的距離．

Answer 1

分析 （1）作圖分析可知小球在x、y方向均做簡諧運(yùn)動，平衡位置均為O，質(zhì)點(diǎn)繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)過90°至C點(diǎn)即為$\frac{T}{4}$的時間；
（2）根據(jù)v=ωr求質(zhì)點(diǎn)到達(dá)C點(diǎn)時的速度，結(jié)合機(jī)械能守恒定律求距離．

解答 解：根據(jù)胡克定律，當(dāng)小球沿桌面運(yùn)動到任意位置D時，彈性繩對小球的作用力為F=kOD，如下圖所示，其中沿x、y方向的分力大小分別為：

F_x=F•cosa=kOD•cosa=kx
F_y=F•sina=kOD•sina=ky
由此可知小球在x、y方向均做簡諧運(yùn)動，平衡位置均為O，周期均為T=2π$\sqrt{\frac{m}{k}}$
（1）小球從B到C，質(zhì)點(diǎn)在x方向的簡諧運(yùn)動經(jīng)歷$\frac{T}{4}$，所以T_x=$\frac{T}{4}$=$\frac{π}{2}$$\sqrt{\frac{m}{k}}$
（2）因?yàn)樾∏虻紺點(diǎn)時，在y方向上的速度為零，所以小球在C點(diǎn)時的速度就是它在x方向上做簡諧運(yùn)動的最大速度．
v_C=v_max=ωl=$\sqrt{\frac{k}{m}}$•l
根據(jù)機(jī)械能守恒定律，（設(shè)OC=y）E_B=E_C
$\frac{1}{2}$mv₀²+$\frac{1}{2}$kl²=$\frac{1}{2}$mv_c²+$\frac{1}{2}$ky²
即：$\frac{1}{2}$mv₀²+$\frac{1}{2}$kl²=$\frac{1}{2}$m$\frac{{l}^{2}k}{m}$+$\frac{1}{2}$ky²
解得：y=v₀$\sqrt{\frac{m}{k}}$．
答：（1）質(zhì)點(diǎn)繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)過90°至C點(diǎn)所需的時間為$\frac{π}{2}$$\sqrt{\frac{m}{k}}$；
（2）質(zhì)點(diǎn)到達(dá)C點(diǎn)時的速度為l$\sqrt{\frac{k}{m}}$，C點(diǎn)至O點(diǎn)的距離是v₀$\sqrt{\frac{m}{k}}$．

點(diǎn)評 解答此題的關(guān)鍵是要能判斷出小球在x、y方向均做簡諧運(yùn)動，然后根據(jù)周期公式求時間和機(jī)械能守恒定律求距離就方便了．