Question

18．為了研究過(guò)山車的原理，某興趣小組提出了下列設(shè)想：取一個(gè)與水平方向夾角為37°、長(zhǎng)為l=2.0m的粗糙傾斜軌道AB，通過(guò)水平軌道BC與半徑為R=0.2m的豎直圓軌道相連，出口為水平軌道DE，整個(gè)軌道除 AB 段以外都是光滑的．其中AB 與BC 軌道以微小圓弧相接，如圖所示．一個(gè)質(zhì)量m=1kg小物塊（可視為質(zhì)點(diǎn)）以初速度v₀=5.0m/s從A點(diǎn)沿傾斜軌道滑下，小物塊到達(dá)C點(diǎn)時(shí)速度v_C=4.0m/s． （g=10m/s²，sin37°=0.60，cos37°=0.80）
（1）求小物塊到達(dá)C點(diǎn)時(shí)對(duì)圓軌道壓力F_N的大��；
（2）求小物塊從A到B運(yùn)動(dòng)過(guò)程中摩擦力所做的功W_f；
（3）為了使小物塊不離開(kāi)軌道，并從軌道DE滑出，求豎直圓弧軌道的半徑R′應(yīng)滿足什么條件？

Answer 1

分析 （1）小物塊做圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律可求得支持力大小，再由牛頓第三定律可求得小物塊對(duì)軌道的壓力大��；
（2）對(duì)AC過(guò)程由動(dòng)能定理可求得摩擦力所做的功；
（3）根據(jù)臨界條件以及牛頓第二定律可求得速度范圍；再由機(jī)械能守恒定律可求得半徑的范圍．

解答 解：（1）設(shè)小物塊到達(dá)C點(diǎn)時(shí)受到圓軌道的支持力大小為N，根據(jù)牛頓第二定律有，
$N-mg=m\frac{v^2}{R}$
解得：N=90N
根據(jù)牛頓第三定律得，小物塊對(duì)圓軌道壓力的大小為90N                       
（2）物塊從A到C的過(guò)程中，根據(jù)動(dòng)能定理有：
mglsin37°+W_f=$\frac{1}{2}$mv_c²-$\frac{1}{2}$mv_A²
解得W_f=-16.5J                          
（3）設(shè)物塊進(jìn)入圓軌道到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)速度大小為v₁，根據(jù)牛頓第二定律有：$N+mg=m\frac{v^2}{R}$，
則$v≥\sqrt{gR}$
物塊從圓軌道最低點(diǎn)到最高點(diǎn)的過(guò)程中，根據(jù)機(jī)械能守恒定律有：
$\frac{1}{2}$mv_c²=$\frac{1}{2}$mv²+2mgR     
聯(lián)立得$R≤\frac{v_c^2}{5g}$，
解得R≤0.32m
答：（1）小物塊到達(dá)C點(diǎn)時(shí)對(duì)圓軌道壓力的大小為90N；
（2）小物塊從A到B運(yùn)動(dòng)過(guò)程中摩擦力所做的功為-16.5J；
（3）為了使小物塊不離開(kāi)軌道，并從軌道DE滑出，求豎直圓弧軌道的半徑應(yīng)滿足R≤0.32m．

點(diǎn)評(píng) 本題考查動(dòng)能定理以及向心力公式的應(yīng)用，要注意明確對(duì)于不涉及時(shí)間的力學(xué)問(wèn)題可以優(yōu)先利用功能關(guān)系，如動(dòng)能定理和機(jī)械能守恒定律進(jìn)行分析求解；本題還要注意臨界條件的應(yīng)用，明確物體能越過(guò)最高點(diǎn)的條件．