Question

19．如圖所示，水平傳送帶兩輪間的距離L=40m，傳送帶以恒定的速率v₀=2m/s順時針勻速轉(zhuǎn)動，兩個完全一樣的滑塊P、Q（視為質(zhì)點）用一根輕繩連接，中間夾著一根被壓縮的輕質(zhì)彈簧（彈簧與物體不拴接），此時彈簧的彈性勢能E_P＞5J，現(xiàn)把P、Q從傳送帶的最左端由靜止開始釋放，t₁=4s時突然燒斷輕繩，很短時間內(nèi)彈簧伸長至原長（不考慮彈簧的長度的影響），此時滑塊Q的速率剛好是P的速率的兩倍．已知兩滑塊的質(zhì)量都是m=0.2kg，兩滑塊與傳送帶之間的動摩擦因數(shù)都是μ=0.1，重力加速度g=10m/s²，求：
（1）輕繩斷前，兩滑塊的位移；
（2）彈簧的最大彈性勢能；
（3）兩滑塊離開傳送帶的時間差．

Answer 1

分析 （1）輕繩斷前，兩滑塊先做勻加速運(yùn)動，由牛頓第二定律求得加速度，由速度公式求出勻加速運(yùn)動的時間，由位移公式求出勻加速的位移，分析知道兩滑塊與傳送帶共速后一起勻速運(yùn)動，從而求得總位移；
（2）繩斷到彈簧處于原長的過程，PQ系統(tǒng)動量守恒，由動量守恒定律求出彈簧釋放后兩滑塊的速度，由系統(tǒng)的能量守恒求彈簧的最大彈性勢能；
（3）對兩滑塊分別研究，由運(yùn)動學(xué)公式分段求離開傳送帶的時間，從而求得時間差．

解答 解：（1）繩子斷前，對PQ整體分析，其加速度：a=$\frac{μ•2mg}{2m}$=μg=1m/s²
PQ從開始釋放到與皮帶相對靜止的時間：t₀=$\frac{{v}_{0}}{a}$=$\frac{2}{1}$s=2s＜t₁=4s
之后兩滑塊與傳送帶一起做勻速運(yùn)動
故3s內(nèi)位移為：x₁=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2a}$+v₀（t₁-t₀）
解得 x₁=6m＜L=40m，符合題意．
（2）繩斷到彈簧處于原長的過程，PQ系統(tǒng)動量守恒，取向右為正方向，由動量守恒定律有
  2mv₀=-mv_P+mv_Q．
又 v_Q=2v_P
上兩式解得：v_P=4m/s，v_Q=8m/s．
由能量守恒定律可知，彈簧的最大彈性勢能：
   E_p=$\frac{1}{2}$mv_P²+$\frac{1}{2}$mv_Q²-$\frac{1}{2}$×2mv₀²．
解得 E_p=7.2J
（3）彈簧處于原長后，滑塊Q與皮帶共速的時間：t₂=$\frac{{v}_{Q}-{v}_{0}}{a}$=$\frac{{v}_{Q}-{v}_{0}}{μg}$=$\frac{8-2}{1}$=6s
這段時間內(nèi)Q的位移：x₂=$\frac{{v}_{Q}+{v}_{0}}{2}{t}_{2}$=$\frac{8+2}{2}$×6m=30m＜L-x₁=34m
故滑塊Q先勻減速，再勻速，勻速的時間：t₃=$\frac{（L-{x}_{1}）-{x}_{2}}{{v}_{0}}$=$\frac{40-6-30}{2}$=2s
則Q到皮帶最右端的時間：t_Q=t₂+t₃=8s
彈簧處于原長后，對滑塊p，其減速到零的位移：x₃=$\frac{{v}_{P}^{2}}{2μg}$=$\frac{{4}^{2}}{2×1}$=8m＞x₁
故P到皮帶最左端的過程：x₁=v_Pt_P-$\frac{1}{2}μg{t}_{P}^{2}$
代值解得：t_P=2s或6s（舍去）
兩滑塊平拋高度相等，則平拋落地的時間相等．故兩滑塊落地的時間差：
△t=t_Q-t_P=6s
答：
（1）輕繩斷前，兩滑塊的位移是6m；
（2）彈簧的最大彈性勢能是7.2J；
（3）兩滑塊離開傳送帶的時間差是6s．

點評 解決本題的關(guān)鍵是要分析清楚滑塊的運(yùn)動情況，按時間順序邊計算邊分析，運(yùn)用牛頓第二定律和運(yùn)動學(xué)公式逐段研究物體的運(yùn)動狀態(tài)．