Question

如圖所示，建立xOy坐標(biāo)系．在第二、第三象限有電場(chǎng)強(qiáng)度為E的勻強(qiáng)電場(chǎng)，方向沿y軸負(fù)方向，電場(chǎng)區(qū)域?qū)挾葹閙v₀²/qE；在第一、四象限有磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，方向垂直于xOy平面向里，圖中右側(cè)虛線為磁場(chǎng)區(qū)域的右邊界．現(xiàn)有一質(zhì)量為m，電荷量為-q的帶電粒子從電場(chǎng)中坐標(biāo)位置（-mv₀²/qE，0）處，以初速度v₀沿x軸正方向開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，（重力不計(jì)），試求：
（1）使帶電粒子不能穿越磁場(chǎng)區(qū)域，磁場(chǎng)區(qū)域的寬度d應(yīng)滿足條件；
（2）帶電粒子最終離開(kāi)電場(chǎng)時(shí)的坐標(biāo)及動(dòng)能．

Answer 1

分析：（1）帶電粒子在電場(chǎng)中做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)動(dòng)力學(xué)知識(shí)求出帶電粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度大小和方向，根據(jù)帶電粒子在磁場(chǎng)中的半徑公式以及幾何關(guān)系求出磁場(chǎng)寬度滿足的條件．
（2）帶電粒子再次回到電場(chǎng)中的速度與進(jìn)入磁場(chǎng)的速度對(duì)稱(chēng)，根據(jù)y方向上的運(yùn)動(dòng)規(guī)律結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出y方向上的位移，從而得出離開(kāi)電場(chǎng)時(shí)的坐標(biāo)，根據(jù)動(dòng)能定理得出離開(kāi)電場(chǎng)時(shí)的動(dòng)能．

解答：解：（1）帶電粒子在電場(chǎng)中做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的加速度為a，
由牛頓運(yùn)動(dòng)定律得：qE=ma
設(shè)粒子出電場(chǎng)、入磁場(chǎng)的速度大小為v，
此時(shí)在y軸方向的分速度為v_y，
粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，則x軸方向上有：

mv02

qE

=v0t
y軸方向上有：qE=ma，v_y=at
解得v_y=v₀，所以v=

v02+vy2

=

2

v0
設(shè)v的方向與y軸方向的夾角為θ，則有θ=45°．
粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后在洛倫茲力作用下做圓周運(yùn)動(dòng)，如圖．
由牛頓第二定律得：qvB=

mv2

R

，可得：R=

mv

qB

由圖中幾何關(guān)系可知，要使粒子不穿越磁場(chǎng)區(qū)域．
磁場(chǎng)的寬度應(yīng)滿足的條件：d≥R（1+cosθ）
結(jié)合已知條件解以上各式得：d≥

(1+ 2 )mv0

qB

．
（2）第一次回到電場(chǎng)中，粒子在y方向上的位移為：
y1=

1

2

at2=

mv02

2qE

再一次回到電場(chǎng)中，粒子在y方向上的位移為：
y2=vyt+

1

2

at2=

3mv02

2qE

y=y₁-2Rcosθ+y₂，即y=

2mv02

qE

-

2mv0

qB

．
坐標(biāo)為（

-mv02

qE

，

2mv02

qE

-

2mv0

qB

）
再一次回到電場(chǎng)中，粒子在電場(chǎng)力作用下運(yùn)動(dòng)，根據(jù)動(dòng)能定理得：
qE(y1+y2)=EK-

1

2

mv02
即得EK=

5

2

mv02
答：（1）使帶電粒子不能穿越磁場(chǎng)區(qū)域，磁場(chǎng)區(qū)域的寬度d應(yīng)滿足條件為：d≥

(1+ 2 )mv0

qB

．
（2）帶電粒子最終離開(kāi)電場(chǎng)時(shí)的坐標(biāo)為（

-mv02

qE

，

2mv02

qE

-

2mv0

qB

），動(dòng)能為EK=

5

2

mv02．

點(diǎn)評(píng)：本題考查帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，綜合性較強(qiáng)，對(duì)學(xué)生能力的要求較高，關(guān)鍵要理清帶電粒子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律．