Question

3．宇宙中存在一些離其他恒星較遠(yuǎn)的、由質(zhì)量均為m四顆星組成的四星系統(tǒng)，通�？珊雎云渌�星體對(duì)它們的引力作用，已知穩(wěn)定的四星系統(tǒng)存在一種形式是（如圖1所示）：三顆星位于等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上，第四顆位于其中心，三個(gè)頂點(diǎn)上三顆星沿外接等邊三角形的圓形軌道運(yùn)行，等邊三角形邊長(zhǎng)為a，引力常量為G．求：

（1）頂點(diǎn)上星體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑R₁；
（2）等邊三角形頂點(diǎn)上星體受的合力F₁；
（3）三顆星沿外接等邊三角形的圓形軌道運(yùn)行周期T₁；
（4）已知穩(wěn)定的四星系統(tǒng)存在另一種形式是（如圖2所示）：四顆星位于正方形的四個(gè)頂點(diǎn)上，四顆星均圍繞正方形的中心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，正方形邊長(zhǎng)為a．四顆星圍繞正方形中心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)周期T₂．請(qǐng)判斷T₁和T₂的大小，并說(shuō)出你判斷的理由．

Answer 1

分析 （1）結(jié)合幾何關(guān)系即可求出頂點(diǎn)上星體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑R₁；
（2）根據(jù)萬(wàn)有引力定律，結(jié)合矢量合成的方法即可求出等邊三角形頂點(diǎn)上星體受的合力F₁；
（3）明確研究對(duì)象，對(duì)研究對(duì)象受力分析，找到做圓周運(yùn)動(dòng)所需向心力的來(lái)源．在四顆星組成的四星系統(tǒng)中，其中任意一顆星受到其它三顆星對(duì)它的合力提供圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，根據(jù)F_合=mr（$\frac{2π}{T}$）²，求出星體勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期．
（4）同（3）的方法求出周期，然后比較即可．

解答 解：（1）對(duì)三繞一模式，等邊三角形邊長(zhǎng)為a，三顆繞行星軌道半徑均為r，由幾何關(guān)系得三角形的邊長(zhǎng)為a=$\sqrt{3}$r，即r₁=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，
（2）根據(jù)矢量合成的方法可得：${F}_{1}=2•\frac{{Gm}^{2}}{{a}^{2}}cos30°+G\frac{{m}^{2}}{{r}_{1}^{2}}$=$\frac{（3+\sqrt{3}）G{m}^{2}}{{a}^{2}}$
（3）由所受合力等于向心力得
$\frac{（3+\sqrt{3}）G{m}^{2}}{{a}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{{T}_{2}}^{2}}{r}_{1}$
解得：T₁=$2π\(zhòng)sqrt{\frac{（3-\sqrt{3}）{a}^{3}}{2Gm}}$
（4）對(duì)于第二種形式：
星體在其他三個(gè)星體的萬(wàn)有引力作用下圍繞正方形對(duì)角線的交點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其軌道半徑半徑r₁=$\frac{\sqrt{2}}{2}a$
由萬(wàn)有引力定律和向心力公式得：$\frac{G{m}^{2}}{2{a}^{2}}+2\frac{G{m}^{2}}{{a}^{2}}$cos45°=m${r}_{1}\frac{4{π}^{2}}{{{T}_{1}}^{2}}$
解得：T₁=2πa$\sqrt{\frac{2a}{（4+\sqrt{2}）Gm}}$
聯(lián)立得：$\frac{{T}_{1}}{{T}_{2}}$=$\sqrt{\frac{（4-\sqrt{2}）（3+\sqrt{3}）}{21}}$≈$\sqrt{0.58}$＜1
答：（1）頂點(diǎn)上星體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑是$\frac{\sqrt{3}}{3}$a；
（2）等邊三角形頂點(diǎn)上星體受的合力F₁是$\frac{（3+\sqrt{3}）G{m}^{2}}{{a}^{2}}$；
（3）三顆星沿外接等邊三角形的圓形軌道運(yùn)行周期T₁是$2π\(zhòng)sqrt{\frac{（3-\sqrt{3}）{a}^{3}}{2Gm}}$；
（4）已知穩(wěn)定的四星系統(tǒng)存在另一種形式是（如圖2所示）：四顆星位于正方形的四個(gè)頂點(diǎn)上，四顆星均圍繞正方形的中心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，正方形邊長(zhǎng)為a．四顆星圍繞正方形中心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)周期T₂．則T₁小于T₂的大小．

點(diǎn)評(píng) 知道在四顆星組成的四星系統(tǒng)中，其中任意一顆星受到其它三顆星對(duì)它的合力提供圓周運(yùn)動(dòng)的向心力．
萬(wàn)有引力定律和牛頓第二定律是力學(xué)的重點(diǎn)，在本題中有些同學(xué)找不出什么力提供向心力，關(guān)鍵在于進(jìn)行正確受力分析．