Question

6．如圖所示，兩個足夠長且相互垂直的光滑絕緣斜面固定在水平面上，左側斜面的傾角為θ．cd、bf為置于其上且質(zhì)量不計的輕質(zhì)柔軟長金屬導線，bc為與導線連接、電阻不計且質(zhì)量為M的導電硬桿．在左側斜面的導線上放置一電阻不計、質(zhì)量為m、長度為L的導體棒PQ、PQ與導線接觸良好且與導線間動摩擦因素為μ．PQ下側有兩個絕緣立柱，固定與左側斜面且斜面垂直于斜面以支撐PQ不致下滑．PQ、MN、bc相互平行，整個空間存在垂直于右側斜面向上的勻強磁場，磁感應強度大小為B．t=0時，一平行于斜面向下的拉力F垂直作用在硬桿bc上，使bc連同兩導線一起由靜止開始做勻加速直線運動，加速度大小為a．導體棒PQ始終處于靜止狀態(tài)．已知輕桿柔軟長金屬導線相距為L，導線單位長度的電阻為R₀，bc長為L，重力加速度為g，t=0時Pc、cb、bQ三段的總電阻為R，求：
（1）回路感應電流I隨時間t變化的關系式；
（2）經(jīng)過多少時間拉力F達到最大值？拉力F的最大值為多少？
（3）若某一過程中回路產(chǎn)生的焦耳熱為Q，導線克服摩擦力做功為W，則這一過程中拉力F所做的功為多少？

Answer 1

分析 （1）由法拉第電磁感應定律與歐姆定律求得I的表達式．
（2）由牛二律可求得F的表達式，結合數(shù)學知識可求得F的最大值．
（3）由導體棒bc運動過程用動能定理可求得F所做的功，所產(chǎn)生的焦耳熱等于安培力做功．

解答 解：（1）設導體棒bc經(jīng)時間t后的速度為v，由法拉第電磁感應定律得
　　　　　　　　E=BLv=Blat                        ①
此時回路中的總電阻為：R_總=R+$2×\frac{1}{2}a{t^2}×{R_0}$　　　　�、�
故回路感應電流I為：I=$\frac{BLat}{{R+{R_0}a{t^2}}}$　　　　　　　　　　　③
（2）設t時刻柔軟導線中張力為T，對導體棒bc分析
　　　　F+Mgcosθ-BIL-2T=Ma                       ④
設導體棒PQ所受的摩擦力為f，對左側導線分析
　　　　　　　　2T=f
　　　　　　　f=μ（mgcosθ+BIL），⑤
由上述幾式得$F=M（a-gcosθ）+μmgcosθ+（1+μ）\frac{{{B^2}{L^2}at}}{{R+{R_0}a{t^2}}}$　　　�、�
式中$\frac{{{B^2}{L^2}at}}{{R+{R_0}a{t^2}}}=\frac{{{B^2}{L^2}a}}{{\frac{R}{t}+{R_0}at}}≤\frac{{{B^2}{L^2}a}}{{2\sqrt{R{R_0}a}}}$，$\frac{R}{t}={R_0}at$時，即t=$\sqrt{\frac{R}{{{R_0}a}}}$　　⑦
　　${F_{max}}=M（a-gcosθ）+μmgcosθ+（1+μ）\frac{{{B^2}{L^2}}}{2}\sqrt{\frac{a}{{R{R_0}}}}$　　　　　�、�
（3）設此過程中導體棒bc運動距離為s，由動能定理得
　　　　　　　　　　　　W_合=W_F+Mgscosθ-W-Q=△E_k=Mas，⑨
左側導線所受的摩擦力為 　　 F_f=μ（mgcosθ+F_安），
導線克服摩擦力做功為        W=μmgscosθ+μW_安=μmgscosθ+μQ，（10）
　　得                  W_F=$W+Q+M（a-gcosθ）\frac{W-μQ}{μmgcosθ}$（11）
答：（1）回路感應電流I隨時間t變化的關系式為I=$\frac{BLat}{{R+{R_0}a{t^2}}}$　　　　　
（2）經(jīng)過時間為$\sqrt{\frac{R}{{{R_0}a}}}$　拉力F達到最大值，拉力F的最大值為${F_{max}}=M（a-gcosθ）+μmgcosθ+（1+μ）\frac{{{B^2}{L^2}}}{2}\sqrt{\frac{a}{{R{R_0}}}}$．
（3）這一過程中拉力F所做的功為$W+Q+M（a-gcosθ）\frac{W-μQ}{μmgcosθ}$

點評 考查、法拉第電磁感應定律、閉合電路歐姆定律，同時運用動能定理、牛頓第二定律并結合數(shù)學知識分析．過程較復雜．