Question

經(jīng)過用天文望遠(yuǎn)鏡長期觀測，人們在宇宙中已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了許多雙星系統(tǒng)，通過對它們的研究，使我們對宇宙中物質(zhì)的存在形式和分布情況有了較深刻的認(rèn)識，雙星系統(tǒng)由兩個星體構(gòu)成，其中每個星體的線度都遠(yuǎn)小于兩星體之間的距離。一般雙星系統(tǒng)距離其他星體很遠(yuǎn)，可以當(dāng)作孤立系統(tǒng)來處理。
       現(xiàn)根據(jù)對某一雙星系統(tǒng)的光度學(xué)測量確定：該雙星系統(tǒng)中每個星體的質(zhì)量都是m，兩者相距L，它們正圍繞兩者連線的中點做圓周運動。
（1）試計算該雙星系統(tǒng)的運動周期T_計算；
（2）若實驗上觀測到的運動周期為T_觀測，且T_觀測：T_計算 =1：。為了解釋T_觀測與T_計算的不同，目前有一種流行的理論認(rèn)為，在宇宙中可能存在一種望遠(yuǎn)鏡觀測不到的暗物質(zhì)。作為一種簡化模型，我們假定在以這兩個星體連線的中點為圓心，為半徑的一個球體內(nèi)均勻分布著這種暗物質(zhì)。若不考慮其他暗物質(zhì)的影響，請根據(jù)這一模型和上述觀測結(jié)果確定該星系間這種暗物質(zhì)的密度。

Answer 1

（20分）解：首先應(yīng)明確此雙星系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)模型， 由于每個星體的線度都小于兩星體之間的距離 滿足萬有引力定律的使用條件。（1）雙星均繞它們連線的中點做圓周運動，設(shè)運動的速率為，得解法一： ① （3分） ② （3分）由①、②式得：（2分）解法二： ③（3分） ④ （3分） 由③、④式得： （2分）（2）解法一：根據(jù)觀測結(jié)果，星體的運動周期 ⑤ （2分） 這種差異是由雙星內(nèi)均勻分布的暗物質(zhì)引起的，均勻分布在球體內(nèi)的暗物質(zhì)對雙星系統(tǒng)的作用與一質(zhì)量等于球內(nèi)暗物質(zhì)的總質(zhì)量，位于中點O處的質(zhì)點的作用相同�？紤]暗物質(zhì)作用后雙星的速度即為觀察到的速度，則有 ⑥（2分） ⑦ 因為在周長一定時，周期和速度成反比，由⑤式得 ⑧ （2分） 把①⑦式代入⑧式得 （2分）設(shè)所求暗物質(zhì)的密度為，則有（2分） 故（2分）（2）解法二：根據(jù)觀測結(jié)果，星體的運動周期 ⑨（2分） ⑩ （2分） （11） （2分）由④、⑨、⑩、（11）式得： （2分）設(shè)所求暗物質(zhì)的密度為，則有 （2分）故 （2分）