Question

13．如圖所示，A、B是繞地球做勻速圓周運(yùn)動的兩顆衛(wèi)星，A、B兩衛(wèi)星與地心的連線在相等時間內(nèi)掃過的面積之比為k，不計(jì)A、B兩衛(wèi)星之間的引力，則A、B兩衛(wèi)星的周期之比為（　　）

• A． k³
• B． k²
• C． k
• D． ${k}^{\frac{2}{3}}$

Answer 1

分析 根據(jù)AB掃過的面積之比為k，結(jié)合$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$，求出A、B的軌道半徑之比，再根據(jù)開普勒第三定律求周期之比；

解答 解：衛(wèi)星A的線速度為${v}_{A}^{\;}$，軌道半徑為${R}_{A}^{\;}$；衛(wèi)星B的線速度為${v}_{B}^{\;}$，軌道半徑為${R}_{B}^{\;}$
設(shè)經(jīng)過時間△t，衛(wèi)星A掃過的面積$\frac{1}{2}{v}_{A}^{\;}△t•{R}_{A}^{\;}$，衛(wèi)星B掃過的面積$\frac{1}{2}{v}_{B}^{\;}△t•{R}_{B}^{\;}$
根據(jù)題意A、B兩衛(wèi)星與地心的連線在相等時間內(nèi)掃過的面積之比為k
所以$\frac{\frac{1}{2}{v}_{A}^{\;}△t•{R}_{A}^{\;}}{\frac{1}{2}{v}_{B}^{\;}△t•{R}_{B}^{\;}}=k$，得$\frac{{v}_{A}^{\;}{R}_{A}^{\;}}{{v}_{B}^{\;}{R}_{B}^{\;}}=k$
根據(jù)$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$，得$\frac{{v}_{A}^{\;}}{{v}_{B}^{\;}}=\sqrt{\frac{{R}_{B}^{\;}}{{R}_{A}^{\;}}}$
聯(lián)立得$\frac{{R}_{A}^{\;}}{{R}_{B}^{\;}}={k}_{\;}^{2}$
根據(jù)開普勒第三定律：$\frac{{T}_{A}^{2}}{{T}_{B}^{2}}=\frac{{R}_{A}^{3}}{{R}_{B}^{3}}={k}_{\;}^{6}$
所以$\frac{{T}_{A}^{\;}}{{T}_{B}^{\;}}={k}_{\;}^{3}$，故A正確，BCD錯誤；
故選：A

點(diǎn)評 解決天體問題的核心原理是萬有引力提供向心力，知道開普勒第三定律$\frac{{R}_{\;}^{3}}{{T}_{\;}^{2}}=k′$，對同一個中心天體比值相同．