Question

7．如圖所示，AB為光滑水平桌面，在AB右端固定豎直平面內半徑為R=1m的半圓粗糙圓弧軌道BQC，Q點與圓心O等高．在水平桌面上放一塊長為L=1m的木板，其質量為M=2kg，木板右端上表面與圓弧軌道相切于B點．質量為m=1kg的帶正電小物塊（可視為質點），電量為q=10^-4C．以初速度v₀=2m/s從左端滑上木板．整個空間加一電場強度E=10⁵N/C，方向與水平方向成37°斜向下的勻強電場．小物塊與木板之間的動摩擦因數為μ=0.25，設小物塊與木板間的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力．重力加速度g=10m/s²．sin37°=0.6，cos37°=0.8．求：
（1）求小物塊在木板上向右滑行的加速度大��；
（2）小物塊第一次到達B點時，對圓弧軌道B點的壓力．
（3）小物塊從左端滑上木塊開始到第一次返回到B，再滑上木塊向左運動，在距離木板右端0.2m處具有相同的速度，則小物塊在粗糙圓弧軌道上運動克服摩擦力做的功是多少．

Answer 1

分析 （1）將電場力分解成水平方向與豎直方向，再根據滑動摩擦力，來確定最大靜摩擦力，由牛頓第二定律可求得加速度；
（2）根據運動學公式可求得物體B點的速度；再由向心力公式可求得作用力；
（3）小物塊從B點滑上圓弧軌道后再返回B點過程，運用動能定理，再根據運動學公式，求得與相對位移的關系，從而求得克服摩擦力做的功．

解答 解：（1）小物體受重力、電場力、支持力及摩擦力的作用；
電場力在水平方向的分力為：qEcos37°=10^-4×10⁵×0.8=8N
電場力在豎直方向的分力為：qEsin37°=10^-4×10⁵×0.6=6N
小物塊與木板間的最大靜摩擦力為：f_m=μ（mg+qEsin37°）=0.25×（1×10+6）=4N
由牛頓第二定律可得：
qEcos37°-f_m=ma
解得：a=$\frac{8-4}{1}$=4m/s²；
（2）由v²-v₀²=2ax可得：
v=2$\sqrt{3}$m/s；
由向心力公式可得：F-mg=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
解得：F=22N；
（3）小物塊從B點滑上圓弧軌道后再返回B點過程，設返回速度為v，由動能定理有：
-W_f=$\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
小物塊減速，加速度大小為：a₁=$\frac{{f}_{m}}{m}$=μg=2.5m/s²；
木板加速，加速度大小為：a₂=$\frac{{f}_{m}}{m}$=μg=2.5m/s²
從小物塊滑上木板到相對靜止，所用時間為t，有：
v-a₁t=a₂t
（vt-$\frac{1}{2}$a₁t²）-$\frac{1}{2}{a}_{2}{t}^{2}$=l
解得：W_f=2.5J
答：（1）小物塊的加速度為4m/s²；
（2）B點的壓力為22N；
（3）小物塊在圓弧軌道上運動過程中克服摩擦力做的功2.5J．

點評 本題綜合考查了動能定理、牛頓第二定律、運動學公式等知識，綜合性較強，關鍵理清物塊的運動過程，選擇合適的規(guī)律進行求解．注意還可以用l=$\frac{v}{2}t$求得相對位移．