Question

3．發(fā)射同步衛(wèi)星需要有高超的技術(shù)，一般先用多級火箭，將衛(wèi)星送入近地圓形軌道，此軌道稱為初始軌道；當衛(wèi)星飛臨赤道上空時，控制火箭再次點火，短時間加速，衛(wèi)星就會按橢圓軌道（也稱轉(zhuǎn)移軌道）運動；當衛(wèi)星飛臨遠地點時，再次點火加速，衛(wèi)星就最后進入同步軌道．如圖所示為某次同步衛(wèi)星發(fā)射的軌道示意圖，橢圓軌道的近地點為A，遠地點為B．假設(shè)A距地面高度為h，衛(wèi)星在同步軌道上飛行n圈所用的時間為t，地球表面的重力加速度為g，地球半徑R，試求：
（1）衛(wèi)星在初始軌道上穩(wěn)定運行時，經(jīng)過A點的加速度a_A的大��；
（2）衛(wèi)星在同步軌道上穩(wěn)定運行時的速度v的大小．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)萬有引力等于重力，以及牛頓第二定律求出經(jīng)過A點的加速度大�。�
（2）根據(jù)周期的大小，根據(jù)萬有引力提供向心力，結(jié)合周期與線速度的關(guān)系求出衛(wèi)星在同步軌道上穩(wěn)定運行時的速度v的大�。�

解答 解：（1）設(shè)地球的質(zhì)量為M，衛(wèi)星的質(zhì)量為m，
衛(wèi)星在A點：$G\frac{Mm}{（R+h）^{2}}=m{a}_{A}$，
對地面上質(zhì)量為m₀的物體：$G\frac{M{m}_{0}}{{R}^{2}}={m}_{0}g$，
解得${a}_{A}=\frac{{R}^{2}}{（R+h）^{2}}g$．
（2）衛(wèi)星同步軌道上飛行的周期：T=$\frac{t}{n}$，
設(shè)同步軌道半徑為r，則有：$\frac{GMm}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$，
又v=$\frac{2πr}{T}$，
由以上各式解得v=$\root{3}{\frac{2πng{R}^{2}}{t}}$．
答：（1）經(jīng)過A點的加速度a_A的大小為$\frac{{R}^{2}}{（R+h）^{2}}g$；
（2）衛(wèi)星在同步軌道上穩(wěn)定運行時的速度v的大小為$\root{3}{\frac{2πng{R}^{2}}{t}}$．

點評 解決本題的關(guān)鍵掌握萬有引力等于重力、萬有引力提供向心力這兩個重要理論，并能靈活運用．