Question

18．如圖所示，在距水平地面高h(yuǎn)₁=1.2m的光滑水平臺(tái)面上，一個(gè)質(zhì)量m=1kg的小物塊壓縮彈簧后被鎖扣K鎖住，儲(chǔ)存的彈性勢(shì)能E_p=2J．現(xiàn)打開(kāi)鎖扣K，物塊與彈簧分離后將以一定的水平速度向右滑離平臺(tái)，并恰好從B點(diǎn)沿切線方向進(jìn)入光滑豎直的圓弧軌道BC．已知B點(diǎn)距水平地面的高h(yuǎn)₂=0.6m，圓弧軌道BC的圓心O，C點(diǎn)的切線水平，并與水平地面上長(zhǎng)為L(zhǎng)=2.8m的粗糙直軌道CD平滑連接，小物塊沿軌道BCD運(yùn)動(dòng)并與右邊的豎直墻壁會(huì)發(fā)生碰撞，重力加速度g=10m/s²，空氣阻力忽略不計(jì)．試求：
（1）小物塊運(yùn)動(dòng)到B的瞬時(shí)速度v_B大小及與水平方向夾角θ
（2）小物塊在圓弧軌道BC上滑到C時(shí)對(duì)軌道壓力F_N大小
（3）若小物塊與墻壁碰撞后速度反向、大小變?yōu)榕銮暗囊话�，且只�?huì)發(fā)生一次碰撞，那么小物塊與軌道CD之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ應(yīng)該滿足怎樣的條件．

Answer 1

分析 （1）小球做平拋運(yùn)動(dòng)，遵守機(jī)械能守恒，由機(jī)械能守恒定律列式求物塊運(yùn)動(dòng)到B的瞬時(shí)速度v_B大小，運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的分解法求解速度與水平方向的角度；
（2）先根據(jù)功能關(guān)系列式求解物塊在C點(diǎn)的速度．在C點(diǎn)，由支持力和重力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律、第三定律結(jié)合列式求解對(duì)軌道壓力F_N大��；
（3）分μ取得最大值和最小值討論，根據(jù)能量守恒列出能量等式解決問(wèn)題．

解答 解：（1）小物塊由A運(yùn)動(dòng)到B的過(guò)程中做平拋運(yùn)動(dòng)，機(jī)械能守恒．
由題意得：E_P=$\frac{1}{2}$m${v}_{0}^{2}$
得 v₀=2m/s
由機(jī)械能守恒得 E_P+mg（h₁-h₂）=$\frac{1}{2}$m${v}_{B}^{2}$
得 v_B=4m/s
根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律有 cosθ=$\frac{{v}_{0}}{{v}_{B}}$=$\frac{2}{4}$，得θ=60°
（2）根據(jù)圖中幾何關(guān)系可知，
  h₂=R（1-cos∠BOC），解得：R=1.2m
根據(jù)能的轉(zhuǎn)化與守恒可知，E_P+mgh₁=$\frac{1}{2}$mv_C²，
得 v_c=2$\sqrt{7}$m/s
對(duì)小球在圓弧軌道C點(diǎn)應(yīng)用牛頓運(yùn)動(dòng)定律得：F_N-mg=$\frac{m{v}_{c}^{2}}{R}$
可解得：F_N=$\frac{100}{3}N$=33.3N
（3）依據(jù)題意知，
①μ的最大值對(duì)應(yīng)的是物塊撞墻前瞬間的速度趨于零，根據(jù)能量關(guān)系有：
  mgh₁+E_p＞μmgL   代入數(shù)據(jù)解得：μ＜$\frac{1}{2}$
②對(duì)于μ的最小值求解，首先應(yīng)判斷物塊第一次碰墻后反彈，能否沿圓軌道滑離B點(diǎn)，設(shè)物塊碰前在D處的速度為v₂，由能量關(guān)系有：
  mgh₁+E_p=μmgL+$\frac{1}{2}$mv₂²
第一次碰墻后返回至C處的動(dòng)能為：E_kC=$\frac{1}{8}$mv₂²-μmgL  可知即使μ=0，有：
$\frac{1}{2}$mv₂²=14J    
$\frac{1}{8}$mv₂²=3.5J＜mgh₂=6J，小物塊不可能返滑至B點(diǎn)
故μ的最小值對(duì)應(yīng)著物塊撞后回到圓軌道最高某處，又下滑經(jīng)C恰好至D點(diǎn)停止，因此有：
 $\frac{1}{8}$mv₂²≤2μmgL，聯(lián)立解得：μ≥$\frac{1}{18}$
綜上可知滿足題目條件的動(dòng)摩擦因數(shù)μ值：$\frac{1}{18}$≤μ＜$\frac{1}{2}$
答：（1）小物塊運(yùn)動(dòng)到B的瞬時(shí)速度v_B大小為4m/s，與水平方向夾角θ為60°；
（2）小物塊在圓弧軌道BC上滑到C時(shí)對(duì)軌道壓力F_N大小為33.3N；
（3）小物塊與軌道CD之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ應(yīng)該滿足的條件是：$\frac{1}{18}$≤μ＜$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 對(duì)于復(fù)雜的力學(xué)問(wèn)題，應(yīng)該先清楚研究對(duì)象的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，根據(jù)運(yùn)動(dòng)性質(zhì)利用物理規(guī)律解決問(wèn)題；關(guān)于能量守恒的應(yīng)用，要清楚物體運(yùn)動(dòng)過(guò)程中能量的轉(zhuǎn)化．